不定积分分部积分法教案.docx

第四章 不定积分（§ 3 分部积分法）
第三节 分部积分法
教学内容： 分部积分法
教学目的 ：理解分部积分法的思想方法，能针对不同类型函数之积的被积函数 , 正确选取
u, v ，熟练掌握分部积分法的2
1
x
x
2 x
2
dx
2
2
1
1 x 2 arctanx
1
(1
1
1
)dx
1 x2 arctanx
1 (x
arctanx)
C
2
2
x 2
2
2
1
( x2
1)arctanx
1
x
C
2
2
练习 ：求
arcsin xdx .
例 4 。 计算不定积分
x2 ex dx ．
解 设 u
x2
， v
ex ，则 u
2x ， v
ex ，
于是
x2 ex dx
x2dex
x2ex
2 xex dx
x2ex
2[xex
exdx]
x2ex
2xex
2ex
C
注意 : 如果要两次分部积分，选取 u, v 要一致，否则会还原．
例 5．计算不定积分 ex sin xdx ．
解 :
ex
sin xdx
sin xdex
ex sin x
ex cos xdx
ex sin x
ex cos x
ex sin xdx
好像进入了死胡同，实则不然，令
ex sin xdx I ，则上式变为：
I
ex sin x
ex cos x
I
则
2I
ex
sin x ex cos x C1
I
1 (ex sin x
ex cos x) C , (其中 C
C1 )
2
2
练习 :求 ex cosxdx 。
3
第四章 不定积分（§ 3 分部积分法）
从这几个典型例题可以看到
,一般情况下， u, v 可按下列规律选择 :
（ 1)形如
xn sin kxdx,
x n coskxdx, ,
xn ekxdx (其中 n 为正整数）的不定积分，令
u xn ，余下的凑成
v .
（ 2)形如
xn ln xdx ，
x n arcsinxdx ，
xn arctanxdx 时