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第二十七讲 相似图形
【重点考点例析】
考点一:平行线分线段成比例（精品文档请下载）
例1 如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD:DB=3:5,那么CF：CB等于(三种断定方法
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，此题答案不唯一.
对应训练
,在△ABC中，AB=AC,BD=CD，CE⊥AB于E。求证:△ABD∽△CBE.
:在△ABC中,AB=AC，BD=CD,∴AD⊥BC,∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°,又∵∠B=∠B,（精品文档请下载）
∴△ABD∽△CBE。
考点五：相似三角形的断定和性质
例5 如图，在△ABC中,BC＞AC,点D在BC上，且DC=AC,∠ACB的平分线CE交AD于E,点F是AB的中点,那么S△AEF:S四边形BDEF为(　　)（精品文档请下载）
A。3:4 B。1:2 ：3 ：3
思路分析：由题意可推出△ADC为等腰三角形，CE为顶角∠ACD的角平分线,所以也是底边上的中线和高，因此E为AD的中点,所以EF为△ABD的中位线，这样即可判断出S△AEF:S四边形BDEF的值.（精品文档请下载）
解:∵DC=AC,∴△ADC是等腰三角形,∵∠ACB的平分线CE交AD于E,∴E为AD的中点(三线合一),（精品文档请下载）
又∵点F是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD,△AFE∽△ABD,
∵S△AFE:S△ABD=1：4,∴S△AFE:S四边形BDEF=1:3，应选D.
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点评：此题主要考察等腰三角形的断定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的断定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S△AFE：S△ABD=1：4.（精品文档请下载）
例5 在△ABC中，∠ABC=90°,AB=3，BC=,过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P。（1）当点P在线段AB上时，求证:△AQP∽△ABC；（精品文档请下载）
(2)当△PQB为等腰三角形时,求AP的长。
思路分析：（1)由两对角相等(∠APQ=∠C，∠A=∠A),证明△AQP∽△ABC；
(2)当△PQB为等腰三角形时，有两种情况,需要分类讨论.
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示。由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长;
（II)当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示。利用角之间的关系,证明点B为线段AP的中点,从而可以求出AP.（精品文档请下载）
解答：(1)证明:∵∠A+∠APQ=90°,∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠△APQ和△ABC中,（精品文档请下载）
∵∠APQ=∠C,∠A=∠A，∴△AQP∽△ABC。
(2)解:在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理得:AC=5。∵∠BPQ为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ。
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(I）当点P在线段AB上时,（1）可知，△AQP∽△ABC，∴,即，解得:PB=,∴AP=AB-PB=3—=；（精品文档请下载）
(II）当点P在线段AB的延长线上时,如题图2所示.∵BP=BQ,∴∠BQP=∠P，
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A,∴BQ=AB，∴AB=BP，点B为线段AB中点,（精品文档请下载）
∴AP=2AB=2×3=,当△PQB为等腰三角形时,AP的长为或6。
点评:此题考察相似三角形及分类讨论的数学思想，难度不大。第（2）问中,当△PQB为等腰三角形时，有两种情况,需要分类讨论，防止漏解.（精品文档请下载）
对应训练
5。如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O,AD=1,BC=4，那么△AOD和△BOC的面积比等于(　　） A。 B。 C. D。（精品文档请下载）
5。D
6。如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）。(1）假设△CEF和△ABC相似。①当AC=BC=2时,AD的长为 ；②当AC=3，BC=4时,AD的长为
;（2）当点D是AB的中点时，△CEF和△ABC相似吗?请说明理由.
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6。解:(1）假设△CEF和△ABC相似.①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形,如答图1所示.（精品文档请下载）
此时D为AB边中点,AD=AC=.
②当AC=3,BC=4时，有两种情况:(I)假设CE：CF=3：4,如答图2所示.∵CE:CF=AC