均值不等式求最值技巧.doc

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利用均值不等式求最值的九种技巧
不等式易错题剖解 　　利用均值（基本）＞-1，求函数y=(x+5)(x+2)x+1的最小值.
　　分析 在分子的各因式中分别凑出(x+1)，借助于裂项解决问题.
　　解 x+1＞0,y=[(x+1)+4][(x+1)+1]x+1
　　=(x+1)+4x+1+5
　　≥2(x+1)4x+1+5=9，
　　当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.
　　所以ymin=9.
　　四、 取倒数
　　例4 已知0＜x＜12，求函数y=(x+1)2x(1-2x)的最小值.
　　分析 分母是x与(1-2x)的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为（1+x）(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.
　　解 由0＜x＜12，得1+x＞0，1-2x＞0.
　　取倒数，得
　　1y=x(1-2x)(1+x)2=13·3x1+x·1-2x1+x
　　≤133x1+x+1-2x1+x22=112，
　　当且仅当3x1+x=1-2x1+x，即x=15时，取等号.
　　故y的最小值是12.
　　五、 平方
　　例5 已知x＞0，y＞0，且2x2+y23=8，求x6+2y2的最大值.
　　分析 条件式中的x与y都是平方式，而所求式中的x是一次式，，但若把所求式x6+2y2平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.
　　解 (x6+2y2)2=x2(6+2y2)
　　=3·2x21+y23
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　　≤32x2+1+y2322=3922，
　　当且仅当2x2=1+y23，即x=32，y=422时，等号成立.
　　故x6+2y2的最大值是923.
　　评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为x2(6+2y2)，先配系数，再运用均值不等式的变式.
　　六、 换元（整体思想）
　　例6 求函数y=x+22x+5的最大值.
　　分析 可先令x+2=t，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.
　　解 令x+2=t，则t≥0，x=t2-2，
　　则y=t2t2+1(t≥0).
　　当t=0时，y=0；
　　当t＞0时，y=12t+1t≤122t·1t=24.
　　当且仅当2t=1t，即t=22时，取等号.
　　所以x=-32时，y取最大值为24.
　　七、 逆用条件
　　例7 已知1x+9y=1(x＞0,y＞0),则x+y的最小值是 .
　　分析 直接利用均值不等式，只能求xy的最小值，而无法求x+，即由1=1x+9y，得x+y=(x+y)1x+9y