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∑i=1 i
于是，估计总体方差 σ 2 或者估计样本均值的方差Var ( μσˆ ) = 2 N 便成为主要问题。
显然，想得到Var ()μσˆ = 2 N 的良好估计，可通过从总体中随机抽取 S 个容
量为 N 的样本，得到 S 个样本均值。即有 S 个估计值 μˆ s = ys , s = 1,", S ；然 后 人
们可以通过 S 个样本的样本方差估计Var ( μˆ ) ，即
S 2
Varnμˆˆˆ=−S 1 −1 μ −μ
() ()∑s=1( s )
S
其中， μˆ = S −1 μˆ 。
∑s=1 S
但是，对于社会科学研究来说，社会活动是不可重复的(再现的)，人们常常
只能获得一个样本，这样上述估计样本均值方差的方法是不可行的。因此，必须
寻求更适合的统计推断方法。Efron(1979)提出的自举推断方法就是其中之一，除
此之外，还有“刀切法(Jackknife)”和“模拟估计方法”等。
自举方法是通过把样本看成总体来实现上述估计的统计推断方法，自举方法
的具体过程如下。
首先将实际样本数据{ y1 ,", y N }视为具有有限成员的总体；
然后，在这个模拟总体中重复 B 次自举，其中每次的自举样本就是从模拟
总体{ y1 ,", y N }中进行样本容量为 N 的可放回地重复抽样，这样便得到了样本
均值 μˆ 的 B 个估计值 μˆ bb= y ， b,,B= 1 " 。
最后，利用{ μˆ b ， b,,B= 1 " }的样本方差估计Var ( μˆ ) ，即
B 2
Varnμˆˆˆ=−B 1 −1 μ −μ
() ()∑ b =1 ( b )
B
其中， μˆ = B −1 μˆ 。
∑b=1 b
显然，这里的自举样本是来自实际样本数据{ y1 ,", y N }的经验分布的样本。
尽管重复抽样似乎违背了一般的抽样方法，但是标准抽样理论是允许重复抽
样的。另外，基于其他方法的一些额外信息来得到自举样本也是可以的。
2 2
例如，如果已知 y~i Νμ(),σ ，i =1,2,…,N，人们也可以通过从 Νμ()ˆ ,s 分布中获得容量为 N 的 B 个自举样本。这种自举方法被称为参数自举法。
事实上，对于更一般的统计量 θˆ 也可以运用类似的自举方法进行估计。
例如，当Var (θˆ ) 的解析表达式较复杂时，基于独立同分布的样本观测数据
ˆ
{w1, . . . ,wN }自举估计Var ()θ 通常是很有效的，并且与借助渐近理论得到的估计
有相同的特性。
渐近精细（Asymptotic Refinements）
在一些条件下，可以对前面所提的自举进行改进，得到的估计量等同于用更
精细的渐近理论得到的估计量，这些估计量的渐近分布能更接近 θˆ 的有限样本分
布。