多维柯西不等式.docx

柯西不等式
【柯西不等式的主要内容】
.柯西主要贡献简介：
柯西（Cauchy）,法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家 他奠定了数学分析的理论基砒 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理、柯西积+b+c+d+e = 8, a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 16,求e 的取值范围.
.已知 x, y, z e R , 且 x + y + z — 1,求证：—+ — + —> 36
.已知正数a,b,c满足a + b + c = 1 证明 a3 + b3 + c3 >
4 111
.若n是不小于2的正整数，试证：7 <1 - 2 + 3 — 4 +
参考答案:
一般形式的柯西不等式:
设n为大于1的自然数
G R (i = 1,2，…，n)，则：Z。2 Eb 2 > (Zab)2， i i i i
i=1 i=1 i=1
b
其中等号当且仅当一=
a
1
b 八 ， 八
—n时成立(当a.=。时，约定b =。， i = 1,2，…，n ).
等号成立当且仅当b=X ai (1 < i < n) 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的
不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便
地解决一些中学数学中的有关问题。
例1解：由柯西不等式得，有(2b2
C / 7 Y 1 1 1 )
+ 3c2 + 6d 2 1 2 + 3 + % >
(b + c + d
即 2b2 + 3c2 + 6d 2 > (b + c + d)2
由条件可得，5 — a2 >(3 — a
2b 43c % 6d t … 、
解得，1 < a < 2当且仅当二云= = 时等号成立，
v’1 2 / 3 V1 6
1,1 代入 b = 1,c =—,d =：时
3 6
a min 二 1
一 2,1
b = 1, c = 3, d = 3 时
例2解：由柯西不等式，得
(% 2 + y 2 + z 2
2 + y 2 + z 2
+ 62 + (—24 )2 ] > (—8% + 6 y — 24y )2
+ 62 +
=9 x(64 + 36 + 4 * 144 )= 392
4
又(—8% + 6y — 24y > = 392. Q + y2 + z2*(-8)+ 62 +(—24〉
即不等式①中只有等号成立.
%
从而由柯西不等式中等号成立的条件，得F =
—8
它与-8 % + 6 j - 24 j = 39 联立
6
可得% —一
13
—24
9
y ——
26
18
z ———
13
a% + by + cz
1 1 1 a+b+c
例3证明：由柯西不等式得，
弋 % + v'y + vz = a%x.；a- + 7 by
记S为口 ABC的面积，则
ax + by + cz = 2 S = 2Da"
4 R
abc
2R
abc : ab + bc + ca
次 abc
1 —： 1 :——:
= _ abb + bc + ca < ■ <a2 + b2 + c2 v2 R 2 R
故不等式成立。
例 4 证明：由柯西不等式，得a v 1 — b2 + b\' 1 — a2 < L2 + I — a2 -^b2 + C — b2 "= 1
b 、i — b 2
当且仅当= 时，上式取等号
x;1 - a 2 a
/. ab =、1 - a 2 •1 - b2, a 2b2 =
于是 a2 + b2 = 1 。
例5分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证:
(a - a )•
1 n+1
a^v+a^v+…+a^
1 2 2 3 n n+1」
> 1,
证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1 - an+1写成
a — a — (a — a )+ (a — a )+ •…+ (a — a )于是
Ka 1 — a )+ (a — a )+ — + (a — a . 1•
[a^+a^a
,12 2 3
+... +
(a - a 1 )•
1
+
a - a
2 3
> n 2 > 1.
, _ 1 ]
+ — +
a - a I
n n+1 /
1
>
a. - a
1 1
+ a, - a a - a
1
+ ... +