小学奥数数论专题.docx

名校真题 测试卷10 （数论篇一）
1、（05年人大附中考题）有 个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相
同；它的每个数字都能整除它本身。
2、（05年101中学考题）
如果在一个两位数的两个数字之间添写一个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4X3X2X1=24）。将这24 个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除 的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。
【解】不妨设这4个数字分别是a>b>c>d
那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5,注意到b>c>d,所以b=5;
从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c<b=5, c=4或2
从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；
因为a>b,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4。而如果d=2,那么abdc的末2位是24, 它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。
这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了 a=7,b=5,c=4,d=3
所以这24个四位数中最大的一个是7543。
【例2】（★★★） 一个5位数，它的各个位数字和为43,且能被11整除，求所有满足条件的5位数？ ［思路］：现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性 质的运用要具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手
【解】5位数数字和最大的为9X5=45,这样43的可能性只有9, 9, 9, 9, 7或9, 9, 9, 8, 8。这样我 们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989符合条件。
【例3】（***）由1, 3, 4, 5, 7, 8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？
【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28
所以偶数位和奇数位上数字和均为14
为了使得该数最大,首位必须是8,第2位是7,14-8=6
那么第3位一定是5,第5位为1
该数最大为875413。
［拓展］：一个三位数,它由0,1,2,7,8组成,且它能被9整除,问满足条件的总共有几个？
【例4】（★★） 一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ,女同学的人
数超过总数的2/5。问男女生各多少人？
【来源】：06年理工附入学测试题
【解】男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7,这样女生的范围在2/5〜3/7之间，同理可得男生 在4/7〜3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/70〜30/70之间，所以只能是29人，这样男 生为41人。
2 质数与合数（分解质因数）
【例5】(★★★) 2005X 684X375 X 口最后4位都是0,请问口里最小是几
？
【解】先分析1X2X3X4XX10的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多，这样我们可以 得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意：5的倍数