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算法案例
唐万树
算法案例 辗转相除法和更相减损术
1、求两个正整数的最大公约数
(1)求18和30的最大公约数
18和30的最大公约数为6
记: ( 18 , 30 )=6
求公因数的方法:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.
2、求8251和6105的最大公约数
( 8251 ,6105 )=?
辗转相除法(欧几里得算法)
观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程
第一步用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数8251=6105×1+2146
结论: 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数,求8251和6105的最大公约数,只要求出6105和2146的公约数就可以了。
(8251 , 6105 )=(6105 , 2146 )
第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2 + 1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。
(8251 , 6105 )=(6105 , 2146 ) =(2146 ,1813)
思考:从上述的过程你体会到最后的余数是什么?
完整的过程
333=148×2+37
148=37×4+0
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
显然37是148和37的最大
公约数,也就是8251和
6105的最大公约数
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数
思考1:从上面的两个例子可以概括出
计算的规则?
S1:用大数除以小数
S3:重复S1,直到余数为0
S2:除数变成被除数,余数变成除数
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2+0
显然45是90和45的最大公约数,也就是225和135的最大公约数
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤,这实际上是一个循环结构。
m = n × q + r
用程序框图表示出右边的过程
否
思考2:辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构?
r=m MOD n
m = n
n = r
r=0?
是
辗转相除法的程序框图
开始
输入m,n
r=m MOD n
m=n
n=r
r=0?
输出m
结束
是
否
INPUT “输入m,n”; m,n
DO
r=m MOD n
m=n
n=r
LOOP UNTIL r=0
PRINT “最大公约数是:”;m
END
《九章算术》——更相减损术
算理:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。
第一步:任意给定两个正整数;判断他们是否都是偶数。若是,则用2约简;若不是则执行第二步。
第二步:以较大的数减较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数。继续这个操作,直到所得的减数和差相等为止,则这个等数就是所求的最大公约数。
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解:由于63不是偶数,把98和63以大数减小数,并辗转相减
98-63=3563-35=2835-28=728-7=21
21-7=14
14-7=7
所以,98和63的最大公约数等于7
练习2:用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。
(12)
:
(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到.