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2023数学建模选修大作业
成绩
中华女子学院
2023 — 2023学年第二学期期末考试
〔论文类〕
论文题目 数学建模算法之蒙特卡罗算法 个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验〞的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的根本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为根底，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。

假设我们要计算一个不规那么图形的面积，那么图形的不规那么程度和分析性计算〔比方，积分〕的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？，我们可以想象把图形画在一块方形布上，然后找来一袋豆子，然后将所有豆子洒在布上，落在图形内豆子的重量比上那块布上所有豆子的重量再乘以布的面积就是他所要求的图形的面积。这确实是一个求面积的好方法，将整个坐标轴看成一个固定的面积，然后均匀的这个分成N〔N的大小取决于划分的步长〕个点，然后找出N个点中有多少个点是属于阴影局部中，假设这个值为k，那么阴影局部的面积就求出来了。
此方法是利用蒙特卡罗方法计算阴影局部面积，是把豆子均匀分布在布上；就计算结果的精度而言，取决点的分割是否够密，即N是否够大；
在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一局部。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S中占的比例K=S1/S就立即能得到S1，从而得到Pi的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K呢？一个方法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的时机相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m与所投点的总数n的比m/n作为k的近似值。P落在扇形内的充要条件是 。
：K=，K，s=1，s1=，求Pi。
由，知s1=，
而s1=，那么Pi=
程序：
/* 利用蒙特卡洛算法近似求圆周率Pi*/
#include<>
#include<>
#include<>
#define COUNT 800 /*循环取样次数，每次取样范围依次变大*/
void main()
{
double x,y;
int num=0;
int i;
for(i=0;i<COUNT;i++)
{
x=rand()*; /*RAND_MAX=32767，包含在<>中*/
y=rand()*;
if((x*x+y*y)<=1)
num++; /*统计落在四分之一圆之内的点数*/
}
printf("Pi值等于：%f\n",num*);
printf("RAND_MAX=%d\n",RAND_MAX);
}
结果：测试6次的结果显示：
循环取样次数
求得的Pi值
800

8000

80000

800000

8000000

80000000

〔可以看出: 随着点数的增加，求得的Pi值渐渐接近真实值。〕
此外，蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。

例：在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排〔含两门火炮〕为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方打击，敌方对其阵地进行了伪装并经常变换射击地点． 经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50％是准确的，而我方火力单位，在指示正确时，有1/3的概率能毁伤敌人一门火炮，有1/6的概率能全部消灭敌人．现在希望能用某种方式把我方将要对敌人实施的1次打击结果显现出来，利用频率稳定性，确定有效射击(毁伤一门炮或全部消灭)的概率.
分析： 这是一个复杂概率问题，可以通过理论计算得到相应的概率. 为了直观地显示我方射击的过程，现采用模拟的方式。
1. 问题分析
需要模拟出以下两件事：
[1] 观察所对目标的指示正确与否 模拟试验有两种结果，每一种结果出现的概率都是1/2。因此，可用投掷一枚硬币的方式予以确定,当硬币出现正面时为指示正确，反之为不正确。
[2] 当