隐函数的求导方法.ppt

隐函数的求导方法93895
The user can demonstrate on a projector or computer print the presentation and make it into e used in a w隐函数的求导方法93895
The user can demonstrate on a projector or computer print the presentation and make it into e used in a wider field The user can demonstrate on a projector orcomputer print the
presentation and make it into e used in a wider field
汇报人：
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
令 x = 0 , 注意此时
导数的另一求法
— 利用隐函数求导
定理2 .
若函数
的某邻域内具有连续偏导数 ,
则方程
在点
并有连续偏导数
定一个单值连续函数 z = f (x , y) ,
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
满足
① 在点
满足:
②
③
某一邻域内可唯一确
两边对 x 求偏导
同样可得
则
例2. 设
解法1 利用隐函数求导
再对 x 求导
解法2 利用公式
设
则
两边对 x 求偏导
例3.
设F( x , y)具有连续偏导数,
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数,
则
已知方程
故
对方程两边求微分:
解法2 微分法.
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
由 F、G 的偏导数组成的行列式
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,
即
定理3.
的某一邻域内具有连续偏
设函数
则方程组
③
的单值连续函数
且有偏导数公式 :
① 在点
②
的某一邻域内可唯一确定一组满足条件
满足:
导数；
：
有隐函数组
则
两边对 x 求导得
设方程组
在点P 的某邻域内
故得
系数行列式
同样可得
例4. 设
解:
方程组两边对 x 求导，并移项得
求
练习: 求
答案:
由题设
故有

在点(u,v) 的某一
1) 证明函数组
( x, y) 的某一邻域内
2) 求
解: 1) 令
对 x , y 的偏导数.
在与点 (u, v) 对应的点
邻域内有连续的偏导数,且
唯一确定一组单值、连续且具有
连续偏导数的反函数
①式两边对 x 求导, 得
则有
由定理 3 可知结论 1) 成立.
2) 求反函数的偏导数.
①
②
从方程组②解得
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
从方程组②解得
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
例5的应用: 计算极坐标变换
的反变换的导数 .
同样有
所以
由于
内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;
方法2. 利用微分形式不变性 ;
方法3. 代公式
思考与练习
设
求
提示:
解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
由d y, d z 的系数即可得
练 习 题
练习题答案
感谢您的关注