《d48泰勒公式》.ppt

二、几个初等函数的麦克劳林公式
第三节
一、泰勒公式的建立
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三、泰勒公式的应用
— 应用
用多项式近似表示函数
理论分析
近似计算
泰勒 ( Taylor
二、几个初等函数的麦克劳林公式
第三节
一、泰勒公式的建立
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三、泰勒公式的应用
— 应用
用多项式近似表示函数
理论分析
近似计算
泰勒 ( Taylor )公式
第四章
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特点:
一、泰勒公式的建立
以直代曲
在微分应用中已知近似公式 :
需要解决的问题
如何提高精度 ?
如何估计误差 ?
x 的一次多项式
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误差为
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问题: 是否存在一个 n次多项式
使得
答案: 当 f (x)在点 x0 有n 阶导数时, 这样的 n 次多
有什么关系？
项式是存在的. 现在来分析这样的多项式与 f (x)
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1. 求 n 次近似多项式
要求:
故
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令
则
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2. 余项估计
令
(称为余项) ,
则有
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公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
泰勒中值定理 :
阶的导数 ,
时, 有
①
其中
②
则当
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公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
注意到
③
④
* 可以证明:
④ 式成立
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特例:
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
给出拉格朗日中值定理
可见
误差
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称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
则有
在泰勒公式中若取
则有误差估计式
若在公式成立的区间上
麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束
由此得近似公式
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二、几个初等函数的麦克劳林公式
其中
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其中
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类似可得
其中
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其中
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已知
其中
类似可得
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例2 求
的麦克劳林公式, 并求
解 已知
那么
由泰勒系数公式可知
于是得到
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例3
求
在点
的泰勒公式.
解
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三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
误差
M 为
在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型:
1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;
2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;
3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
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已知
例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过
解:
令 x = 1 , 得
由于
欲使
由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,
因此
的麦克劳林公式为
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过
总误差为
这时得到的近似值不能保证误差不超过
因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
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例2. 用近似公式
计算 cos x 的