调和级数发散性的证明方法.docx

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调和级数发散性的证明方法
姓名：范璐婵
摘要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者 进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或 方法导出的。
关键词：调2n 一 1 2n
n=1
1 11 1 1
=(1+—)+ (一 + )••• + ( + ) + …
2 3 4 2n -1 2n
1 11 1 1
\ ( 1+_) + (_ + )…+ ( + ) +—
2 4 4 2n 2n
1 1 1
=_ + (1+ + ••• + — + …)
2 2 n
=1 + S
2
1
S > + S
2
从而
1
0 = 2矛盾’所以调和级数必发散.
2证法二：证明调和级数另1的部分和可任意大.
n
n=1
依次将另-九项，九十项，九百项，…括在一起得
n
n=1
I 1 1 1
1 + + …+ +…
2 3 n
1 1、/ 1 1 11 1 1、
=(1+ — + ... + —) + ( + + .…+ ) + ( + + .…+ ) + .…
2 9 10 11 99 100 101 999
/1 1 1、/ 1 1 1、/ 1 1 1、
900
10 10 10 100 100 100 1000 1000 1000 V ’ y
9 90
9 90 900
= + + +.…
10 100 1000
9 9 9
= + + +.…
10 10 10
从上式中可以看出艺1的和可任意大，故级数艺1发散.
n n
n=1 n=1
3证法三：利用柯西收敛准则证明部分和数列｛$ ｝发散.
n
事实上，存在s =-，对任意自然数N，总能找到两个自然数m >N, n = 2m , o 2 o oo
当然也有2m >N，使得
1 1
+…・+
2m
o
o
. .1
I s 一 s 1= +
2 mo mo m +1 m + 2
o o
1 1
> + + …+
2m 2m 2m
o o o
据柯西收敛准则的否定叙述，｛s ｝发散，从而工-发散.
n n
n=1
4证法四：证明部分和数列｛s ｝的子列｛s ｝发散.
n 2 m
s
2m
=1+-+(1+1)+(1+-+1+1)+…+(丄+
2 3 4 5 6 7 8 2m-1 +1
1
+ •…
2 m-1 + 2
1
2m + 1
于是
-4
X OO
-
IX
2）
r m
=1 +
2
li :m - lim+ 与="
m T8 m T8
故数列｛s ｝发散,
n
从而调和级数为-发散.
n
n=1
5证法五：利用欧拉常数证明.
证明数列｛a ｝存在极限C （欧拉常数），这里
n
1 1 1
a 二 1 + +— Inn ,
n 2 3 n
1 1 1
即 1 + + + + -lnn =C+ &，其中s T0 (当nTg 时)
2 3 n n n
1 1 ln(l+—) <—，
n n
因为
所以
1
l n n + —) nL n ，
n
从而有
ln 2- Iik 1，1
1
ln3 - ln2 < ，
2
1
ln(n +1) 一 ln n < ，
n
上述n个不等式两边相加得
于是
a
n+1
即｛a ｝有下界•其次应用不等式
1 1 1
ln(n +1) < 1 + + + •••+ ，
2 3 n
1 1 1 1
=1 + + + ••• + + — l nn(+
2 3 n n + 1
1 1
<ln(1+—)， n +1 n
a 一 a
n n+1 n +1
1 + ln(n +1)-lnn = ln(1+ -)- — > 0.
n n +1
故｛a ｝有是
n
个单调下降的数列,
也就是
因此lima存在，用C表示，即
n
n—g
1 1
+ …+ 一 ln n) = C.
3 n
1 1 1
1 + 1 +.…+— = ln + C + 8
2
1 lim(1 + +
n—g 2
1
显然
l i ms
i
n s
=l i m +C + s
mg
(ltm= . 0)
n
n T8
=+g •
g 1
故调和级数它—发散.
n
n=1
6证法六：应用级数艺a
(其中a