高数重要知识点.docx

高等数学上册重要知识点
第一章函数与极限

1两个无穷小的比较
设 lim f (x) 0,lim g(x) 0 且 iimf® l g(x)
l = 0,称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0几个基本性质。这些性质以后都要用到。
定理1.(有界定理)如果函数f (x)在闭区间［a, b］上连续，则f (x)必在［a, b］上有界。
定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f (x)在闭区间［a, b］上连续，则在这个区间上一 定存在最大值M和最小值m。
定理3.(介值定理)如果函数f(x)在闭区间［a, b］上连续，且其最大值和最小值分别为M和 m ,则对于介于mffiM之间的任何实数c,在［a, b］上至少存在一个己，使得f (己)=c
推论：如果函数f (x)在闭区间［a, b］上连续，且f (a)与f (b)异号，则在(a,b)内至少 存在一个点己，使得f (己)=0这个推论也称为零点定理
第二章导数与微分

设y = f (u) , u =? (x),如果？(x)在x处可导，f (u)在对应点u处可导，则复合函数y = f
［? ( x)］在x处可导，且有生电业 f'( (x)) '(x)
dx du dx
对应地dy f'(u)du f'( (x)) '(x)dx ,由于公式dy f'(u)du不管u是自变量或中间变量都
成立。因此称为一阶微分形式不变性。
2,由参数方程确定函数的运算法则
设x =? (t),y= (t)确定函数丫 = y(x),其中'(t), '(t)存在，且'(t)w 0,则由 3 dx '(t)
二阶导数
3,反函数求导法则
设y = f (x)的反函数x = g(y),两者皆可导，且f ' (x)*0
1
则 g'(y)
—1—(f'(x) 0) f'(g(y))
4隐函数运算法则(可以按照复合函数理解)
设y = y(x)是由方程F(x, y) = 0所确定，求y'的方法如下：
把F(x, y) = 0两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后 再解出y'的表达式(允许出现y变量)
5对数求导法则 (指数类型 如y xsinx)
先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数 y'。
对数求导法主要用于：①幕指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数( 注意定义域
P106 例6) 关于幕指函数y = [ f (x)] g (x)常用的一种方法，y = eg(x)lnf(x)这样就可以直接用复合函
数运算法则进行
6可微与可导的关系
f (x)在x0处可微？ f (x)在x0处可导。
7求n阶导数(n>2 ,正整数)
先求出y' , y'',……，总结出规律性，然后写出y(n),最后用归纳法证明。有一些常 用的初等函数的n阶导数公式
y sin x, y(n) sin(x 卞)
y cosx, y(n) cos(x -)
2
(5) y In x, y(n) ( i)n 1(n 1)!x n
第三章微分中值定理与导数应用
一罗尔定理
设函数f (x)满足
(1)在闭区间［a, b］上连续；(2)在开区间(a, b)内可导；(3) f (a) = f (b)
则存在己C(a,b),使得f '(己)=0
二 ★拉格朗日中值定理(证明不等式 P134 9、10)
设函数f (x)满足(1)在闭区间［a, b］上连续；(2)在开区间(a, b)内可导；
则存在己C(a,b),使得f(b) f⑶ f'()
b a
(x)在(a, b)内可导，且f ' (x)三0,则f (x)在(a, b)内为常数
(x) , g(x)在(a, b)内皆可导，且f ' (x)三g' (x),则在(a, b)内f (x)=
g(x)+ c,其中c为一个常数。
三柯西中值定理 设函数f (x)和g(x)满足：(1)在闭区间［a, b］上皆连续；(2)在开区间(a, b)内皆可导；且
b)
g' (x)* 0则存在己 C (a, b)使得 f(b) f(a) U^(a g(b) g(a) g'()
(注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形 g(x) = x时，柯西中值定理就
是拉格朗日中值定理。)
四★泰勒公式(① 估值 ② 求极限(麦克劳林)P145 T10)
定理1 .(皮亚诺余项的n阶泰勒公式)
设f (刈在0 x处有n阶导数，则有公式
肩=胆)+牛U+牛1・㈤其中耳⑺=0卜一/)1 力
1■ 工 对 ，称
为皮亚诺余项
对常用的初等函数如 ex,sin x,cos x,ln(