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第六节 函数图形的描绘
综合上述,要作出函数的图形,可以按如下步骤进行
(1)考察函数的基本性质,例如定义域,奇偶性,周期性,连续
性等以便作图;奇偶性,周期性使画图简单.
(2)确定图象上的一些特殊点,例如与坐标轴 第六节 函数图形的描绘
综合上述,要作出函数的图形,可以按如下步骤进行
(1)考察函数的基本性质,例如定义域,奇偶性,周期性,连续
性等以便作图;奇偶性,周期性使画图简单.
(2)确定图象上的一些特殊点,例如与坐标轴的交点f(x)=0,
顶点f’=0, 间断点和始(终)点.
(3)利用导数研究函数的单调区间与极值,凹凸区间与拐点.
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(4)求出曲线的全部渐近线
(5)需要时可由曲线的方程计算出一些适当的点的坐标.
(6)列表表示上述讨论的结果,在坐标系里画出渐近线和控制
点(各种特殊点,包括极值顶点,拐点等),再根据单调性与凹
凸性,可确定曲线的走向,画出该曲线.
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(1) 定义域为x≠1的实数;当x=1时为间断点,
x=0时y=-9/4, y=0,x=3曲线与两条坐标轴的交点
为(0,-9/4), (3,0)
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令y’=0,得到x=-1,x=-1,1,3把函数的定义域
分成四个区域:
曲线在(-∞,-1],[3,+ ∞)之内y’>0,函数单调上升;
曲线在[-1,1),(1,3]内y’<0函数单调下降.
函数在x=-1时,它从左到右,一阶导数由大到小(变号)有
极大值 y(-1)= -2;
函数在x=3时它从左到右,一阶导数由小到大(变号)有
极小值y(3)=0
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(3)
当x<1时,y”<0,曲线上凸,当x>1时,y”>0,曲线下凹,没有拐点.
x=1时,函数没有定义,但y”
x=1不是点.
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(4) 渐近线为x=1和y=x/4-5/4
(5) 函数没有始点和终点,为此我们作一些辅助点
(2,1/4),(4,1/12)(-2,-25/12)
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综合上面的讨论,列表如下:
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下面我们研究三个问题
(1) 利用导数证明不等式.
(2) 证明某些等式.
(3) 方程根的进一步讨论.
(1)利用导数证明不等式
:
10 利用导数定义证明.
20 利用微分中值定理;
30 利用函数的单调性;
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40 利用极值(或最值);
50 利用泰勒公式.
60 利用函数的凹凸性证明
20 利用微分中值定理
若函数f(x)有一二阶导数,而要证的不等式的两端含有 f(x)
的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或不等式中含有
f(x)的导数时,
端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯
西中值定理证.
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证明：把lna乘以各式,得到
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