四角包与根号二.doc

四角包与根号二
四角包是小时候常玩的一种“玩具”,可以两个人玩,也可以多个人玩,还可以在地上画个圈玩。四角包也有大有小,有厚有薄。总之,无论是四角包的样式,还是玩的方法都是多种多样的。但也有一定的规则,比如“单面货”、“两面货”、“笨手的”都不给玩,一张纸叠成的也不给玩。
这种简单的玩具不知给多少人的童年带来过极大的乐趣。下面我们讨论它的叠法:
用两张普通纸,如图1所示,沿着平行于长边的轴线对折,可得到两条长条形的纸。
图1
对折后的纸是双层的,叠的过程如图2所示:
;
b—;
c—;
e——d;
g——d;
i——d;
j—“舌头”插进去;
;
。
如果只有一张纸,也可以将它叠成一个较小的“四角包”。方法是先沿着平等于短边的轴线将其撕成两张,然后重复上面所说的步骤。
如果只有半张纸,还可以将它叠成一个更小的“四角包”。方法还是重复上面的过程。
如果有四分之一张纸……
如果有八分之一张纸……
……
这个过程可以无限进行下去吗?实际情况是,如果有一张真实的纸,这个过程在有限次的操作下是可行的。这说明在无限次操作中也很有可能是可行的。下面我们肯定这种可能性,讨论一下纸的形状。
这个道理是简单的,只要我们能保证在纸撕开后形状保持不变,这个过程就能无限进行也去。
图2
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
如图3所示,设纸的长边与短边的长度分别为x和y。保持撕开后的纸的形状与原来相同,则大的矩形与小的矩形相似,有:
图3
y
x
得:
这就是说纸的长边与短边的比为。这种纸是满足无限次撕开后形状不变的,根据数学归纳法知,若原来的两张纸可以叠成一个四角包则无论按要求撕多少次都可以叠成较小的四角包。但问题是,原来的纸可以叠成