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有理数运算的几种特殊方法
有理数运算的几种特殊方法
王尧兴
有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概 It was last revised on January 2, 2021
有理数运算的几种特殊方法
有理数运算的几种特殊方法
王尧兴
有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算，不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。
一、倒序相加法
例1?计算1＋3＋5＋7＋……＋1997＋1999的值。
分析：观察发现：算式中从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可用如下解法。
解：用字母S表示所求算式，即
S＝1＋3＋5＋……＋1997＋1999。①
再将S各项倒过来写为
S＝1999＋1997＋1995＋……＋3＋1。②
将①，②两式左右分别相加，得
从而有
说明：该题之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前面的数字与后面对应位置的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字。
另该式后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用表示；最后一项叫末项，通常用表示，相等的差叫公差，通常用d表示，项数用n表示（），则该题也可以用等差数列的求和（）公式：来计算。
二、错位相减法
例2?计算的值。
分析：观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍，如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算。
解：设，①
所以②
②－①，得，所以。
说明：如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决。
三、裂项相减法
例3?计算
分析：