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第三章　离散傅立叶变换
３．１　傅立叶变换的几种可能形式
３．２　周期序列的傅立叶级数（ＤＦＳ）
３．３　离散傅立叶变换
３．４　离散傅立叶变换的性质
３．５　离散傅立叶变换的应用
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３．１　离散傅立叶变换的几种可能序
列，它们的DFS为
１、线性
　　式中　为任意常数，可见由两个离散周期序列　　　
　　和　　线性组合成一个新的周期序列　　　　　
的DFS也是周期为N的离散周期序列。
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２、移位特性
时域移位
频域移位
　　如果　　≥N,那么
证明：
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３、时域卷积特性
　　两个周期都为N的周期序列　　和　　，它们卷积
的结果也是周期为N的周期序列，即

m的取值由0～（N-1），因此称为周期卷积。
0
5
n
0
0
0
0
0
0
5
5
5
5
5
5
m
m
m
m
m
m
1
1
1
2
3
4
图 两个周期序列(N=6)的周期卷积过程
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周期卷积与DFS的关系如下：
　　设
若
则有
这就是时域卷积定理。
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证明：
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４、频域卷积特性
对于时域周期序列的乘积，同样对应于频域的周期卷积。
若
则
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３．３　离散傅立叶变换ＤＦＴ
由于长度为N的有限长序列可以看作是周期是N的
周期序列的一个周期，因此利用DFS计算周期序列的一
个周期，就可以得到有限长序列的离散傅立叶变换．
　　设x(n)是长度为N的有限长序列，可以把它看作是
周期为N的周期序列　　的一个主周期，而将　　看作
是x(n)以N为周期进行周期延拓得到，即
同理
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离散傅立叶变换的正变换
反变换
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３．４　离散傅立叶变换的性质
假定　　和　　都是N点的有限长序列，有
１、线性
若两个有限长序列　　和　　的线性组合
为　　　　　　　　　　，
则有
式中　　为任意常数。
说明：（1）若　　和　　的长度均为N，则　　的长度为N；
　　　（2）若　　和　　的长度不等，　　的长度为N1，　的长度为N2，则　　的长度为N=max[N1，N2]，离散傅立叶变换的长度必须按N来计算。
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２、序列的圆周移位
　　有限长序列x(n)的圆周移位是以它的长度N为周
期，将其延拓成周期序列 ，并将周期序列进行移
位，然后取主值区间（n=0到N-1）上的序列值。因而
一个有限长序列的右圆周移位定义为
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x(n)
x((n))N
x((n-2))N
x((n-2))NRN(n)
n
n
n
n
0
0
0
0
N-1
N-1
N-1
N-1
序列的周期移位(N=6)
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（１）时域移位定理
证明：由周期序列的时域移位性质
　　　由于有限长序列的DFT就是周期序列DFS在频域中的主值序列，有
（２）频域移位定理
　　若
则
上式称为频率移位定理，也称为调制定理，此定理说明时域序列的调制等效于频域的圆周移位。
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３、共轭对称性
　　任一序列都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和。
　　周期序列的共轭对称分量　　和共轭反对称分量　　
　　　都是周期性的，周期仍为N，取出它们的主值序列就得到了有限长序列的相应的分量，分别称为圆周共轭对称分量　　和圆周共轭反对称分量　　，公式推导如下：
　　设有限长序列x(n)的长度为N，以N为周期的周期延拓序列为
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则有
同样可以证明
则有限长序列的圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称
分量定义为
由于满足　　　　　　　　，有
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DFT的一系列的对称性质：
（１）
　　　式中x*(n)是x(n)的共轭复序列。
（２）
（３）复序列实部的DFT等于序列DFT的圆周共轭对称部分，即
（４）复序列虚部乘j的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称部分，即
（５）若x(n)是实序列，则X(k)只有圆周