攻克解析几何综合题的几种策略.docx

收稿日期：2012-05-11
作者简介：郭允远（1963—），男，山东沂南人,中学高级教师，临沂市教育 局教科研中心高中数学教研员,山东省教学能手，山东省知名高考研究专家， 主要从事中学数学教育与高考研究.
攻克解析几何综合题的几种策DI -1 ME I：
2
32(1+ k 2). I k I
因此 S 1—
:存4 k1(1+ 4k 2)(4 + k 2)
+ 右+17)-
21
由题意知’存4骨+±+17）:护解得k12:4或k12:4
又由点 A、B 的坐标可知'
k 2 —丄
1 k 2 k :L
k +
1 k
1
1
:k -丄，所以k:±11
・
1 k 2
1
故满足条件的直线1存在，且有两条，其方程分别为y : 2x和y :— 2x
【点评】若直接设AB的方程为y=kx与抛物线c的方程联立，可以用k表
2
示出s，但用k表示s的运算就复杂了•所以注意运用①的结论，即MD丄me与
12
MA 丄 MB， 线MA（MD）与C、C的关系，进而把S、S都用MA的斜率k
表示，通过点A、B的坐标完成了与k的“对接”. 1 2 1
二、设而不求，整体处理
在解析几何解题中，恰当地设某些变量（尽量减少变量个数），如点的
坐标、直线方程、圆锥曲线方程等，是解题的开始，而过程中的运算是解题
,运用设而不求等运算技巧，实施整体 代换、整体化简、整体求出等策略，往往可起到化繁为简、事半功倍的卓越 功效
O
点
点
M、 P
例2 (2011年浙江卷•理21)
已知抛物线C : x2 = y，圆C : x2 + (y — 4)2二1的圆心为
12
M.
求点M到抛物线c的准线的距离；
1
已知点P是抛物线c上一点(异于原点)，过
1
P作圆c的两条切线，交抛物线C于a、B两点，若过 两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程.
解析：(1)易得圆心M(0,4)到准线的距离为17.
4
(2)本题涉及三个动点P、A、B，两条动直线AB，l两种位置关系：相切、 垂直，要求直线l的方程，需求l的斜率或点P的坐标，离已知条件甚远，所 以要实施分部转化,先大胆设出三个动点的坐标,用坐标表示两种位置关系.
设P(a,a2)， A(t ,t2)、B(t ,t 2)由题意得a 丰 0， a H±1， t 主 t -
1 1 2 2 1 2
【点评】利用点P A、B在抛物线C : x 2二y上,巧设点的坐标，较少了变
1
量个数，使得以下的解法优于试题原答案的解法；注意挖掘题目的隐含条件
也是重要的一点.
所以 pA 方程为 y — a2 =丄—(x - a)，即(t + a)x - y - at = 0 -
t — a 1 1
1
因为 PA 与圆 M 相切，所以 d = ］一4 一 叫1 = 1，即(a2 — 1)t 2 + 6at +15 -a2 = 0・
+ a )2 +1 1 1
冋理(a2 一 1)t 2 + 6at +15 —a2 = 0，
2 一 1)t 2 + 6at +15 一 a 2 = 0 的两个根
15 — a 2
11 =
1 2 a2 —1
所以t、t是关于t的方程(a
6a
12
1 2 a 2 — 1
6a
所以t +1 =-
而 k = D!=t +1
AB t — t 1 2 a 2 —1
12
【点评】整体求出、整体代换的整体策略在这里得到了充分地体现！至
此，问题的解决便水到渠成.
又k = a2 — 4，因为AB丄MP，所以k k =-1，
MP a AB MP
即—旦.―一 1，解得a 2 = 23 .
a2 — 1 a 5
23 - 4 — —
所以k
MP a
a2 - 4 — = ±士，所以直线l的方程为y = +也
■23 115 - 115
土* 了
三、数形结合，减少运算
解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数 形结合”，注意利用图形特点和性质,往往可以减少运算量,使问题获得简捷解 决・
例3（2010年陕西卷・理0）
如图，椭圆C :竺+二=1的顶点为A、A , B、B ,焦点为F、F ,1 AB 1=刁,
a 2 b 2 12 12 1 2 11
1）求椭圆 C 的方程；
（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于A、B 两点的直线，I OP 1= • PB = 1成立？若存在，求出直 线l的方程；若不存在，请说明理由. 一一
解析：(1)易得乂+竺=1.
4 3
(2)由条件| OP