数列求通项公式及求和9种方法.docx

数列专题 1：根据递推关系求数列的通项公式
根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型
一、S是数列｛a ｝的前n项的和
n n j
型一：
a = <
n
S （n = 1）
1
S - S （n > 2）
n n
数列专题 1：根据递推关系求数列的通项公式
根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型
一、S是数列｛a ｝的前n项的和
n n j
型一：
a = <
n
S （n = 1）
1
S - S （n > 2）
n n-1
【方法】：“ S - S ”代入消元消a。
n n-1 n
【注意】漏检验n的值（如n = 1的情况
【例1】.（1）已知正数数列｛a ｝的前n项的和为Sn，
n
且对任意的正整数n满足2杞=an +1，求数列｛an｝的
通项公式。 "" "
（2）数列｛a｝中，a=1对所有的正整数n都 有a - a - a - - a = n2，求数列｛a ｝的通项公式
1 2 3 n n
+ 3n-i a
n
?n e N*),
【作业一】
1 — ｛a ｝满足-+ 3a2 + 32 a3 +
n
求数列｛a ｝的通项公式.
（二）•累加、累乘
型如 a - a = f (n),
n n -1
2 = f (n) a
n-1
+f⑵，检验n =1的情
况
【小结】一般情况下，“累加法” “累乘法”)里只有 n 一 1个等式相加(相乘).
_ 1
【例2】・⑴已知3 _ 2,
a
n ・
(2)已知数列
n 满足an+1
n 2
E an，且 3 = 3,
型一：
a — a , _ f (n)，用累加法求通项公式(推
n n—1
导等差数列通项公式的方法)
【方法】
a - a 二 f (n),
n n-1
a i— a = f (n — 1),
n—1 n—2
•…•…,
a 一 a = f (2) n > 2,
2 1
从而 a — a = f (n) + f (n — 1) +
n 1
型二:
_ f⑷，用累乘法求通项公式(推导等比 数列通项公式的方法)
【方法】n > 2，2 -人--a2 _ f(n) - f(n-1)- - f(2) a a a
n—1 n—2 1 .么
即fn _ f (n)・f (n — 1) • • f⑵，检验n _ 1的情 a
1 • • • • • •
=a + (n > 2)，求
n—1 n 2 一 1
【例3】・(2009广东高考文数)在数列｛a ｝中， 人 a
1 n +1 b = n
ai =乜+1 = (1+ nW +丁 •设 n 万，求数列｛b ｝ 的通项公式
(c,p为非零常数C丰1, p丰1)
构造 a + x = c (a + x)，即
n+1 n
故(c- 1)x = p，即｛a +丄｝为
n c 一 1
(三)•待定系数法 a = ca + p n+1 n
【方法】
a = ca + (c - 1)x，
n+1 n
等比数列
【例4】• a1 = 1，a 1 = 2a + 3，求数列｛a ｝的通
1 n+1 n n
项公式。
(
四
■M
)•倒数法
•丄