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时间序列分析方法之谱分析
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质，可能频域表示更为简单。
§ 母体谱 我1 一耳 z)
1 2 q 1 2 q
1 一0 z -© z2 e zp = (1 一九 z )(1 一九 z)…(1 一九 z)
则母体谱函数可以表示为：。
n [1 + 耳 2 — 2q cos(®)]
G 2 j j
S (①)= j=
Y 加 n [1 + 九2 — 2九 cos(ro)]
j j
/ =1
从母体谱函数中计算自协方差
如果我们知道了自协方差序列{ },原则上我
{7 }+8
们就可以计算出任意 的谱函数八的数值。反过
(w)
来也是对的：如果对所有在［0 ］内的，已知谱函
［0,兀］ w
s (w)
数()的数值，则对任意给定的整数氐，我们也
(w)
能够计算k阶自协方差。这意味着母体谱函数
7
(w)和自协方差序列{y }包含着相同的信息。其中
(w) {7 }+8
任何一个都无法为我们提供另外一个无法给出 的推断。
下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了 一个有用的公式：
{7}是绝对可加的自协方差序
{7」+8
列，则母体谱函数与自协方差之间的关系为：
7 =f+Ks (w)eiwkdw
上述公式也可以等价地表示为：
7 =卜s (w)cos(wk)dw
利用上述谱公式，可以实现谱函数与自协方差 函数之间的转换。
解释母体谱函数
假设k 0，
, 7 0
+兀 s (w)dw
方差，即7，计算公式为：
7 =1 、，
根据定积分的几何意义，上式说明母体谱函数 在区间
冗］内的面积就是，也就是过程的方差。
更一般的，由于谱函数° ()是非负的，对任意
(w)
w r0K］，如果我们能够计算：
w丘［0,兀］
j+wi s (w )dw
一件Y
这个积分结果也是一个正的数值，可以解释为
Y的方差中与频率的绝对值小于 的成分相关的 部分。注意到谱函数也是对称的/因此也可以表 示为：
f+roi s (®)d® 二 2卜件 s (①)d
这个积分表示频率小于的随机成分对Y方差 的贡献。 1 t
Y = £ [a cos(co t) + 8 sin(o t)]
t j j j j
这里 和8是零均值的随机变量，这意味着对 所有时间J有EY 0。进一步假设序列｛、和
是序列不相关和相互不相关的：
b 2, j = k
0, j 丰 k
|=j
l==i
{a j }M=1 {5 j j
但是，频率小于 的随机成分对y方差的贡献 意味着什么？为了探索这个问题，我们考虑更为 特殊一些的时间序列模型：
E (a a )= <
j k
b 2，j = k，E (8 8 )= < 0, j 丰 k j k
2)cos2(co t) + E(8 2)sin2(co t2 C
j j j j
2 Cos2(C0 t) + sin 2( co t J
j j j j=1
，对所有的j和k 这时Y的方差是： E(Y2) = £ L(a
t j=1
=乙b 2
因此；对这个过程来说，具有频率。的周期成 分对Y的方差的贡献部分是2。如果频率是有顺 序的：0 o o O ，则Y的方差中由频率小于 或者等于o的周期形成的部分是：b2+b2 + +b2。
这种情形下Y的k阶自协方差为：1 2 ]
Yt
j =1
E(Y Y )=为{E(a 2)cos@ t)cos[® (t - k)] + E(8 2) sin(o t)sin[® (t - k)]} t t_k j j j j j j
=乙0 2｛cos@ t)cos[® (t — k)] + sm(® t)sm[® (t — k)]｝
j j j j j
j=1
=为 G 2 cos(® k)
因为过程｛Y｝的均值和自协方差函数都不是时 间的函数，因此这个过程是协方差平稳过程。但 是，可以验证此时的自协方差序列｛ ｝不是绝对
｛Y ｝8
可加的。 kk=0
虽然在上述过程中，我们已经过程的方差分解 为频率低于某种程度的周期成分的贡献，我们能 够这样做的原因在于这个过程是比较特殊的。对 于一般的情形，著名的谱表示定理(the spectral representation theorem)说明：任何协方差平稳 过程都可以表示成为不同频率周期成分的和形 式。
对任意给定的固定频率 …]，我们定义随机
O G [0,兀]
变量a