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第七章数列
内江师范学院数学系
吴立宝
:通过本章的教学,使学生理解数列的概念,掌握等差数列与等比数列的性质及其应用,掌握数列的求和方法,了解差分的概念与性质.
:
第一节等差数列及其性质(2学时)
第二节等比数列及其性质(2学时)
第三节数列与差分(1学时)
、难点:
等差数列与等比数列的性质及其应用,,求递推数列的通项公式是教学的难点.
§ 等差数列与等比数列
一、等差数列
二、等比数列
例1 若两个数列, 满足关系为
试证:数列成等差数列的充要条件是为等差数列
例2 设数列,且满足条件:
,则数列
是等比数列
例3 已知等比数列的前项和为,试比较与
的大小
§ 数列求和
一、倒序相加求和
例1 求和
二、裂项求和
例2 ,求
例3 求和
例4 求和
三、并项求和
例5 求数列的前n项和.
答案:
例6 求和
答案:
四、错项相减求和
例7 设为等差数列, 为等比数列,求
附:差分多项式.
定义1 如果是的多项式,那么多项式称为
的差分,记为,即.
的差分叫做的二级差分,用表示它,即
一般地,定义的级差分是的差分.
定理1 定义
定义2 多项式 k≥1; , 称为次差分多项式.
定理2
§ 递推数列
一、形如的递推式(用叠加法)
二、形如的递推式(用迭代法)
例3 , ,且
(1)求的通项.
(2)令,求的前项和.
例1 , , ( ≥2),求
例2 , ,( ≥1),求
三、形如递推式
例4 数列中,设>0, ,且,求数列的通项公式.
注:一阶线性差分方程,通解、特解,相应齐程.
(二元)一阶线性分方程组
四、形如的递推式
例6 数列的前项和为,且满足, ( ≥1),求数列的通项公式.
令,则,即
令,则转化为第一种类型.
六、形如( ≥2)的递推式
1. 若,则
2. 若,存在, 满足,从而可得
,
或
例7 已知,且,求数列的通项公式.
五、形如的递推式
例8 , , ( ≥2),求
七、其他
例9 已知, , ,求
例10 , , ,求
例11 , ,求
例12 的前项和满足, >0,求
例13 设的前项和满足,其中是与无关的常数,且
(1)求与的关系式;(2)写出用与表示