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Prepared on 22 November 2020
微分方程在经济方面的应用
目 录
微分方程在经济方面的应用
数和线性微分方程，往往能得出其解析解或精确解。这对解决实际的经济问题有很大帮助。对于一些变系数及非线性的微分方程，可以通过特定的方法，如欧拉方程和拉普拉斯方程求解。
研究内容
本文着重分析微分方程在价格调整模型，蛛网模型,logistic模型三个模型及边际分析，弹性分析两个分析中的应用，借这三个模型，两个分析来说明微分方程在经济中的应用十分广泛。
第2章　经济学中常用微分方程的解法
微分方程的简介
含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程。未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数，从而出现多元函数的偏导数的方程，叫做偏微分方程。
　方程的阶
微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数叫做微分方程的阶。
若一个微分方程的阶为，则称这个微分方程为阶微分方程。
　方程的解
（1）、如果将一个函数代入微分方程后能使方程两端恒等，则称此函数为微分方程的解。
（2）、求微分方程解的过程，叫做解微分方程。
（3）、若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称为通解。当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，这是微分方程的特解。
通常，特解都是由给定的条件代入通解，确定出任意常数的特定值后得到的，这里用来确定特解的条件，叫做初始条件。
一般地，一阶微分方程的初始条件为：时，。
二阶微分方程的初始条件为：当时，。
　经济中常用微分方程的解法
　一阶微分方程的求解
（1）变量分离方程：
形如 （1）
的方程。其中,分别为的连续函数。
将（1）式写成的形式，两边同时积分得到
（2）
例：求解方程
解 将变量分离，得：
两边积分，既得
因而，通解为
这里是任意常数。
齐次微分方程：
形如 （3）
的方程。其中为的连续函数。
作变量变换
（4）
即，于是
（5）
将（4），（5）代入（3）中，原方程变为
整理后，得到
（6）
是个变量分离方程。可按变量分离的方法求解得到结果。
例：
解
令，以代入。则原方程变为
，
即
两边同时积分，得到
将代入得到通解
一阶线性微分方程：
称为一阶齐次线性微分方程。其通解为
其中是任意常数。
其中，
称为一阶非齐次线性微分方程。其通解为
。
　二阶常系数线性微分方程的求解

形如（其中为常数）的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其求解步骤如下：
（1）求解方程的特征方程；
（2）根据特征方程根的不同分为如下三种情形：
1） 当时，两特征值为，则原方程的通解为；
2） 当时，特征方程有两个相等的实根，则原方程的通解为；
3） 当时，特征方程有两个共轭虚根，则原方程的通解为.
例1：求的通解.
解 方程的特征方程为，特征值为，原方程的通解为.
例2：求的通解.
解 方程的特征方程为，特征值为，原方程的通解为.
例3: 求的通解.
解 方程的特征方程为，特征值为，原方程的通解为.
2. 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
形如（其中为常数）的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，根据的不同形式可将求特解方程分为如下两种情况：
（1）
情形一：若非特征值，：，令；
情形二：若与一个特征值相同，：，令；
情形三：若与两个特征值都相同，：，令.
代入原方程整理后的式子为：，特别地，若与一个特征值相同，则；若与两个特征值相同，则.
（2）
令，
情形一：若不是特征值，则令；
情形二：若是特征值，则令.
例：设，求该方程的特解形式.
解 由得特征值，因为且为特征值，所以该方程的特解形式为.
第3章　三个经济模型
微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，经济模型从状态上分