高中数学建模论文.docx

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高中数学建模论文
数学建模之观影的最佳位置
想
看电影时的舒适感取决于视角α和仰角β，所以在选取最佳位置时要综合考虑两者，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角, 越大越好; 仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角, 太大使人的头部过分上仰, 引起不适,一般要求仰角β不超过30。所以如果坐的太靠前，导致仰角太大，除了脖子会感到酸痛外，视野及画面感也不好，甚至会感到头晕。而坐的太靠后，又可能会觉得画面不是那么的清晰，甚至被前面的观众挡住视线，看不到屏幕的最下面。所以，看电影挑选位置是一门学问。
设影院的屏幕高为h，上边缘距离地面高为H，影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ,第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为d, D, 观众的平均座高为c (指眼睛到地面的距离), 为了得到这些基本参数，我专门来到电影院采集数据，询问了电影院工作人员，在说明来意之后，她热心的为我解答甚至专门拿出了电影院建设之初的相关材料，而我也得知了参数h = , H= 5, d= , D= 19，c = (单位m )。地板线的倾角θ= ,并且查出电影院一般的中等放映厅排数为19排，这样就可以求出每两排之间间距为/18=

本文从观众看电影的视角和仰角入手，列出非线性方程，并力求使得视角最大化，仰角最小化，从而可求出观影的最佳位置。
图二. 电影院座位图
基本假设：
每位观众坐下后眼睛到地面的距离相等。
忽略前排观众对后排观众的阻挡，每个人都可以完整的看到整个大屏幕
本文中用到的电影院的各种数据是标准电影院，但不代表所有的放映厅，因其规格不同。
不考虑曲面屏幕对视觉带来的影响。
模型的建立：
考虑到看电影的每个人是离散的，因此，在知道电影院的座位一共有
22排后，就可以将看电影的最佳位置转变为一个个离散的点。除此之外，最佳位置一定位于最中央的一列上的某个位置，因此，可以通过求解哪一排的观影效果最好来确定最佳位置。这样问题就转化为一个平面的几何问题，从而可以绘制出影院放映厅内的剖面图，如下图所示。且各未知量均标记在图上。

模型求解
为达到”视角尽可能大, 仰角尽可能小”的目的, 就在λ线(视觉线)上选择合适的点使得角α尽量大, 但角β尽量小, 最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点; 由于α的变化范围在0o- 90o之间, α-β的范围在-90o- 90o之间, 所以α和α- β的大小可用正切( tan)和反正切函数( arctan)来衡量, 如图1所示, 即有:
tanβ
(L + h > H 时为正)
令：f(x)=tanβ F（x)=α
因此可得到目标函数:
约束条件为：
影院中每排据屏幕的距离x 可表示为:
其中: L表示观众眼睛到水平面的距离, n表示影院中座位的排数。
对于这个多目标问题, 用“主目标优化法”对模型进行求解。进一步分析, 人们看电影时, 视角大时能达到更好的观看效果, 而通过调整颈部的扭转角度,
也就是仰角，只要角度不太