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冰山运输数学模型
摘要
当今社会，水资源短缺已成为世界性问题，水资源紧张地区正不断扩大，除淡化海水的方法外，专家提出从相距9600千米以外的南极托运冰山到波斯湾，将其化成冰水从而取代淡化海水作为国民用水。本文所要解决的是选择合适的拖船与千米燃料消耗费用
q
每天燃料消耗费用
Q
燃料消耗的总费用
M
拖船到达波斯湾所用租金
R
0
冰山原来的半径
R
t
冰山融化后的半径
N
0
冰山开始的体积
N
变化后冰山体积
y
每立方水所需费用
Y
拖船到达波斯湾时所需的总费用
4•模型建立
本文的目的是选择出拖船的最适船型与船速，使冰山到达目的地后，可以得到的每立方米水所花的费用最低，通过问题分析可以分别从冰山的融化规律、燃料消耗费用、冰山运输的总费用、冰山到达目的地可获得的水体积和每立方米水的费用建立数学模型。

假设运输过程中距离南极的距离为dkm，拖船的船速为vkm/h，融化速率
为S，由表二可以得到如图1。
图1
11'i11t11

与南相距离
-/-
7

融化連率
015
Z-

--
/

0
./■-/
/1|||||g||

通过图1,很明显看出：当距离0°d°4000km时，融化速率S不仅与船
速v成线性关系，而且也与距离d呈线性关系，也就是说，船速越快，距离越远,
6)
冰山接触的温度越高，导致它融化越快；当d〉4000km时，距离对融化速率
的影响忽略，没有影响，所以这时融化速率S只与船速v呈线性关系。那么通过
数据拟合公式可设融化速率S的函数关系式为:
cfkd(kv+b)0<d<4000
S=i12
kv+bd〉4000
I2
1）
然后将表2相关数据代入可得到：
1
k二寫,,
i30002
当拖船从南极出发行走t天时，与南极距离为
d=24vt（2）
由（1）、（2）及々，k2,b的值得：
丄vt（+）0<t<500
SJ125冇
I500400
+°<t<
73Tv
接下来求变化后冰山体积
设第t天冰山半径为Rt，体积为N，则
R—R—JSdt
t00
4)
N—
5)
其中Ro,Vo为从南极启运时冰山的开始半径和体积。由（4）、（5）得冰山体积为：
N—二磐—0Sdt）3
4・2燃料消耗费用
由表2中的数据，通过Matlab拟合可得图形如图2所示:
6)
(10)
0
图2
由图可知每千米燃料消耗量q°与船速v和冰山体积N的对数呈线性关系,
则可设其函数关系式为:
q0
N+c3)
其中C1,C2,C3为待定参数，根据表2中数据可求得
c=,c=6,c——1
123
所以
则每天燃料消耗量为
q°—(v+6)CgN—1)
q—24v-q
0
(7)
(8)
(9)
(10)
0
q-+6)
把（2）式代入（3）式，再根据（6）式得
igI｛（烽-rsdt）31—1
所以，总燃料消耗量为
(10)
0
I4兀lg「
_1dt
丿
(11)
Q=fTqdt=+6)
00
冰山运输总费用冰山运输的总费用是由租金的总费用和燃料消耗总费用相加。由表1知船的日租金取决于船型，船型又由冰山的初始体积N0决定，记日租金为m(N0)，则有
40N<5x105
•0
m(N)=」<N<106(⑵
00
<N<107
I0
又冰山运输总时间为：
13)
14)
T二D二9600二400
-24v-"24F—〒
所以租金总费用为：
M-m(NT二400m(N
由(11)、(8)式可得冰山运输总费用为
m(N)+(y+6)
Y二M+Q二400
v00
lg
_1dt
(10)
0
丿丿
15)
冰山运到目的地后化成水的体积为：
W==
°・85xM(