(完整)排队论.docx

5。2 排队论
排队是日常生活和工作中常见的现象,它由两个方面构成，一是要求得到服务的顾客，二是设法给予服 务的服务人员或服务机构（统称为服务员或服务台）,顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务 系统。如图5。5所示。
I I / M 111 g表示 输入过程为顾客独立到达且相继到达的间隔时间服从一般概率分布，服务时间是相互独立、服从负指数分 布,1个服务台，容量为无穷的等待制模型； D/M /c / K 表示相继到达的间隔时间独立、服从定长分布，服 务时间相互独立、服从负指数分布，有c个服务台，容量为K （ c < K <g）的混合制模型，等等。
4。 排队系统的主要数量指标
1） 队长L与等待队长L
Q
队长是指在系统中的顾客数（包括正在接受服务的顾客），而等待队长是指系统中排队等待的顾客数，它 们都是随机变量，是顾客和服务机构双方都十分关心的数量指标，显然，队长等于等待队长加上正在被服务 的顾客数.
2） 等待时间W与逗留时间W
Q
顾客的等待时间是指从顾客进入系统的时刻起直到开始接受服务止这段时间，而逗留时间是顾客在系统 中的等待时间与服务时间之和。在假定到达与服务是彼此独立的条件下，等待时间与服务时间是相互独立的。 等待时间与逗留时间是顾客最关心的数量指标，应用中关心的是统计平衡下它们的分布及期望平均值。
3） 忙期与闲期
从顾客到达空闲的服务机构起，到服务台再次变为空闲止，这段时间是系统连续工作的时间，我们称为 系统的忙期，它反映了系统中服务员的工作强度。与忙期对应的是系统的闲期，即系统连续保持空闲的时间 长度。在排队系统中，统计平衡下忙期与闲期是交替出现的。而忙期循环是指相邻的两次忙期开始的间隔时 间，显然它等于当前的忙期长度与闲期长度之和。
4) 输出过程 输出过程也称离去过程，是指接受服务完毕的顾客相继离开系统的过程。刻画一个输出过程的主要指标 是相继离去的间隔时间和在一段已知时间内离去顾客的数目，这些指标从一个侧面也反映了系统的工作效 率。
此外，在不同的排队系统中，还会涉及其它数量指标,例如在损失制与混合制排队系统中，由于服务能 力不足而造成的顾客的损失率及单位时间内损失的平均顾客数，在多服务台并行服务的系统中,某个时刻正 在忙的服务台数目，以及服务机构的利用率(或称为服务强度)等。
5。
代价方程
在排队论模型中，一些基本的令人感兴趣的量有：
L —-系统中顾客的平均数
L -—系统中排队等待服务的顾客平均数
Q
W --顾客在系统中停留的平均时间
W -—顾客在系统中排队等待的平均时间
Q 这几个量以及其它使人感兴趣的量的很多有用的关系可以由下面的思想获得：假定正在进入系统的顾客 被迫支付费用(按某种规则)给系统。这样我们就有下面的基本代价方程：
系统挣得费用平均速率=九X一个进入系统的顾客的平均花费 (5—1)
=lim
N(t)
a
其中九定义为顾客的平均到达速率。即，若N(t)表示在t时间内到达的顾客数，则
a
通过选取适当的花费规则，作为方程的特例,很多有用的公式都可以得到，比如，假设每个顾客在系统 中单位时间内花费1元，由方程即得到所谓的Little's公式:
L 二九 W (5—2)
a
在该花费规则下,这个公式表明，系统挣得费用的速率就是系统中顾客数，顾客支付费用就是他在系统 中的时间。
类似地，若假设每个顾客在排队中单位时间花费1元，则(5—1)式变为:
L 二九 W (5—3)
Q a Q
假定花费规则为每个顾客在服务时单位时间支付1元，则由(5—1)得到:
受服务的顾客平均数=九E[S] (5—4)
a
其中 E[S] 定义为顾客被服务的平均时间。
需要强调的是：(5—1 )〜(5—4)几乎对所有排队模型有效，而无论其到达过程、服务人员数或排队规 律怎样。
2。几个重要的概率分布
1) 定长分布(单点分布)
设随机变量 X以概率1取常值a，即P{X = a}= 1，则称X服从定长分布或单点分布。
它的概率分布函数为
f 0, t < a 切二P{X<tna
5—5)
2) 负指数分布
定义5。2 —个连续型随机变量X，若它的分布密度函数为
f (t)二
九e-k, t> 0
0, t < 0
5—6)
其中九(九〉0)为常数，则称随机变数X服从参数九的负指数分布，其概率分布函数为
F (t)=
1 - e-九，t > 0
0, t < 0
5-7)
可以求得其k阶原点矩为E[Xk]二 (k二1,2,
九k
•)，
•
1
方差为D[X]二-
九2
服从负指数分布的随机变量具有下面的基本性质——“无记