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已知单位反馈系统的开环传递函数为

试确定系统的稳定性或求系统稳时K的取值范围。
解(1)系统(a)的K的稳定域
解法一(应用赫尔维茨判据) 由1+Ga (s)=0,可得系统(a)的特征方程为
应用赫尔维茨判据则可求得系统稳定的充要条件为
故K的稳定域为K>20/3。
解法二(应用劳斯判据) 由特征方程可构造劳斯阵列如下:
 
 
 
要使系统稳定,其第一列的元素必须全为正。同样也可以求得K的稳定域为K>20/3。
(2)系统(b)的稳定性
解法一(应用赫尔维茨判据) 由1+Ga (s)=0,可得系统(b)的特征方程为
由于特征方程的系数全为正的,而
故可判断该闭环系统是不稳定的。
解法二(应用劳斯判据) 由特征方程可构造劳斯表如下:
可见其第一列的元素不变号,故系统没有极点在右半开平面上。而由辅助方程可解得系统有一对纯虚根p1,2=±。于是应用长除法由系统的特征方程
则可求得另一个系统极点为p3=-。因此可判断该系统为临界稳定的。
讨论由例题结果可见:(1)系统的开环稳定性和闭环稳定性是两回事,它们之间没有必然的联系。开环稳定的(如系统(b))其闭环未必稳定;开环不稳定的(如系统(a))其闭环不见得不稳定。所谓系统稳定性,指的是闭环的稳定性。从工程上着眼,为使系统易于控制和调试,通常希望系统的开环应是稳定的。(2)从判断系统的稳定性以及确定稳定裕度和参数的稳定域而言,赫尔维茨判据和劳斯判据是等效的。然而劳斯判据还可用来确定极点在左右两半平面上的分布情况,而且运算较为简便,故在实际中得到了较为广泛的应用。
 
设单位反馈系统的开环传递函数为
试确定参数K和T稳定域。
解由1+G(s)=0可得系统的特征方程为
于是可构造劳斯如下:
根据劳斯判据,要使系统稳定其劳斯表的第一列元素必须全为正的,即T>0,
K>0,T+2-K(T-2)>0
故系统稳定时参数K和T的取值范围为

相应的K和T的稳定域,。
 
控制系统的结构图,。若系统以频率w=2rad/s持续振荡,试确定相应的参数K和的值。
解由结构图可得系统的特征方程为
于是可构造劳斯表如下:
根据题意,闭环系统存在一对共轭纯虚根p1,2=±j2。这意味着劳斯表的行全为零元素,即。由辅助方程解得一队共轭纯虚根。
联立求解下列方程组
则可求得系统产生w=2rad/s的持续振荡时,参数K和的取值为
 
某液位控制系统的结构图,(a)所示。图中hr为给定液面高度,h为实际液位,q1为进水流量,q2为用水流量。试判断系统的稳定性,并讨论使系统稳定的可能措施。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
解由结构图可得系统的特征方程为
式中K= KpKmK1K2为系统的开环增益。
分析上式可以看到:特征方程s1项,不满足各项系数均大于零的必要条件,故系统不稳定,而且无论如何调整系统参数Tm和K的大小均无法使系统稳定。这种并非参数设置不当而是由于系统结构所造成的不稳定系统,叫做结构性不稳定系统。要使这类系统稳定,必须改变原系统的结构。,改善系统特性使闭环稳定有两种可行方案:
(1)    引入比例微分(PD)控制
在原系统的受控对象前引入PD控制器,(b)所示。由图可得,引入PD控制后系统的特征方程变成为
它已经不缺项,根据劳斯判据可求得系统稳定的充要条件为。可见只要适当调整参数使,便可确保闭环系统为稳定的。
(2)    引入局部负反馈回路
在受控系统或其部分环节的两端用局部负反馈回路包围它,以改善系统的特性使之稳定。现以图 (a)虚线所示的局部负反馈回路为例,说明如下。当伺服电动机两端用比例反馈回路包围后,其等效传递函数为
于是由1+Gk(s)=0可得结构改变后系统的特征方程为
它已经不缺项,应用劳斯判据可求得系统稳定的充要条件为K3>TmKpK1K2。因此只要调整参数使条件成立,则可确保该闭环系统稳定。
 
假设温度计放置在oC的恒温箱内,其传递函数为G(s)=1/(Ts+1)。现用温度计测量盛在容器内的水温,需要1分钟才能指示出实际水温的98%。试问:(1)该温度计的时间常数 T以及指示出实际水温的10%变化至90%所需的时间各为多少?(2)如果给容器加热,使水温以10oC/min的速度匀速上升,温度计的稳态指示误差有多大?
解(1) 温度计的时间常数和系统暂态响应的上升时间为
或
当t=60s时y(t)=。将此值代入上式,则可求得温度计的时间常数为
:温度计指示出实际水温的10%变