数学建模排队论.ppt

排队论（Queueing Theory）
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排队论课件
现实生活中的实例：
进餐馆就餐
到图书馆借书
去售票处购票
在车站等车等等
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排队论课件
一、排队系统的特征及排队论：
顾客为了得到某中服务而到达系统排队规则：
先来先服务（FCFS）
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3、服务机制
主要包括：服务员的数量及其连接形式（串联或并联）；
顾客是单个还是成批接受服务的；服务时间的分布。
记某服务台的服务时间为V，
其分布函数为B(t),
密度函数
为b(t),
则常见的分布有：
① 定长分布（D）：
每位顾客接受的服务的时间是常数；
② 负指数分布（M）：
每位顾客接受服务时间相互独立，
具有相同的负指数分布：
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其中
为一常数。
③k阶爱尔朗分布
密度函数为
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排队论课件
三、排队系统的符号表示
为了方便对众多的模型的描述，
目前在排队论中被广泛的使用的“Kendall记号”，
一般形式为：
X/Y/Z/A/B/C
其中X表示顾客相继到达时间间隔的分布，
Y表示服务时间分
布，
Z表示服务台的个数；
A表示系统的容纳，即可容纳最多顾客数
B表示顾客源的数目；
C表示服务规则；
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表示了一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布，
服务时间为负指数分布、
单个服务台、
系统容量为无限、
顾客量无限、
排队规则为先来先服务的排队模型。
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排队论课件
四、排队系统的主要数量指标和记号
1、队长和排队长
2、等待时间和逗留时间
3、忙期和闲期
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下面给出上述一些主要数量指标的常用记法：
时刻 t 系统中的顾客数，即队长
时刻 t 系统中排队的顾客数，即排队长
时刻 t 到达系统的顾客在系统中的逗留时间
时刻 t 到达系统的顾客在系统中的等待时间
上述数量指标与时间有关的随机变量，求它们的瞬时分布
非常困难。
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讨论系统处于平衡状态下的性质：
记
为时刻t时系统处于状态n概率，即系统的瞬时分布
根据前面的约定，我们将主要分析系统的平衡分布，即当系统到
达统计平衡时时所处状态 n 概率，记为
又记：
系统处于平衡状态时队长，其均值为L，称为平均队长
系统处于平衡状态时排队长，其均值为
称为平均
排队长；
系统处于平衡状态时顾客的逗留时间，
均值为
称为
逗留时间；
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系统处于平衡状态时顾客的等待时间，
其均值记为
称为平均等待时间；
当系统处于状态n时，新来顾客的平均到达率
（单位时
间内来到系统的平均顾客数）
当系统处于状态n时，整个系统的平均服务率（单位
时间内完成的顾客数）
当
为常数时，
记为
当每个服务台的平均服务率为
常数时，记为
当
时，有：
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1/ 期望到达间隔时间
1/ 期望服务时间
 服务强度， 或称使用因子, /(s)
五、排队论原理
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为了使系统中各个状态保持平衡，得到下列方程：
对状态
对状态
对状态
记
则平稳状态分布：
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则概率分布的要求：
有：
于是：
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六、M/M/S等待制排队模型
1、单服务台模型
①队长的分布
记
为系统到达平衡状态后队长
N的概率分布，
注意到
记
并设
则：
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因此：
其中：
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②几个主要数量指标
平均队长：
平均排队长：
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的负指数分布，
关于顾客在系统中的逗留时间T，说明服从参数
因此，平均逗留时间W为：
顾客在系统中逗留时间为等待时间和接受服务时间之和：
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其中V为服务时间，故由：
可得平均等待时间
为：
平均队长与平均逗留时间具有的关系：
平均排队长与平均等待时间的关系：
称为little公式
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2、多服务台模型
记
为系统到达平衡状态后队长
N的概率分布，
注意到对个数s个服务台系统，有：
记
并设
则：
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其中：
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几个主要数量指标
平均排队长：
平均队长：
Little公式：
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其他模型
M/M/c/K/K
顾客来源是有限的服务系统. 例如： 一个饭店有 X 张桌子和 Y个服务生服务来源有限的顾客.
M/D/1
服务时间不变的服务系统.
D/M/1
确定性到达模式, 及