球面正弦-余弦定理证明.docx

§4球面余弦定理和正弦定理
平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性，到了平面三角学，把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。其中最根本的就是三角形的余弦定理：设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、 b 、 c ，§4球面余弦定理和正弦定理
平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性，到了平面三角学，把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。其中最根本的就是三角形的余弦定理：设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、 b 、 c ，它们的对角分别是 、 、 ，那么
其中， 分别表示 的余弦。
三角形的正弦定理：设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、 b 、 c ，它们的对角分别是 、 、 ，那么
。
类似地，球面三角形也有有效能算的边角函数关系，其中最主要的结果就是球面三角的正弦定理和余弦定理。
为证明球面三角余弦定理，我们介绍有关向量的另一种乘积—外积。
两向量a与b的外积是一个矢量，记做a×b，它的模是|a×b|=|a||b|(a,b),它的方向与a,b都垂直，并且按a,b,a×b这个顺序构成右手标架。
对于向量的外积，有拉格朗日恒等式成立。
a×b〕·(a’×b’)=(a·a’)·(b·b’)－(a·b’)·(b·a’)
〔球面三角余弦定理〕在单位球面上，对于任给球面三角形，其三边和三角恒满足下述函数关系
〔证法一〕证明：如图4-1所示，
图4-1
是单位球面上的三点，以a,b,c分别表示单位长向量,那么球面三角形的三角角度和三边边长分别可以用空间向量a,b,c表达如下：
是b,c之间夹角的弧度，所以cos=b·c,同理有cos=a·c, cos=a·b。
是“a,b所张的平面〞和“a,c所张的平面〞之间的夹角，所以也等于a×b和a×c之间的夹角，即
〔a×b〕·(a×c)=| a×b|·|a×c|cosA=
同理亦有〔b×c〕·(b×a)=
〔c×a〕·(c×b)=
由〔a×b〕·(a×c)==cos－
所以
同理可证
当单位球面上的球面三角形三边都小于时，可以用平面三角余弦定理证明球面三角余弦定理。证明如下：
取球面三角形，将各顶点与球心O连接，过顶点A作b,c边的切线，分别交OC,OB的延长线于N,M,由此得到两个平面直角三角形和两个平面三角形。在中，根据平面三角形的余弦定理，有。
同理在中
因此
即
即
即得
同理可证
〔证法2〕证明：设球心为O，连接OA、OB、OC，那么
。
图4-2
过点A做的切线交直线OB于D，过点A做的切线，交直线OC于E，连接DE〔如图4-2所示〕。
显然，ADAO，AEAO，在直角三角形OAD中， AO=1，
AD=，
OD=。
在直角三角形OAE中，
AE=，
OE=。
注意。在三角形ODE中，利用平面三角形的余弦定理〔〕，
……〔1〕
在三角形ADE中， ……〔2〕
因为〔1〕式与〔2〕式左端相等，所以右端也相等，经化简整理，即得
。
类似地可以得到另外两式。
当三角形有一个内角为直角时，比方，那么由球