八个有趣的模型的外接球与内接球.docx

空间几何体的外接球与内切球
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2二a2 + b2 + c2 ,即2R =3 + b + c2 ,
求出R
例1 （步：确定球心O的位置，O］是AABC的外心，则OO］丄平面ABC；
11
第二步：算出小圆O的半径AO = r， OO —— AA —— h ( AA — h也是圆柱的咼);
1 1 1 2 1 2 1
第三步：勾股定理：OA2 二 O]A2 + O]O2 n R2 二(-)2 + r2 n R = ,'r2 + (-)2，解出 R
例 4 (1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在
9
同一个球面上，且该六棱柱的体积为石，底面周长为3，则这个球的体积为
8
(2 )直三棱柱ABC — ABC的各顶点都在同一球面上，若AB = AC = AA — 2 ,
1 1 1 1
ZBAC =1200，则此球的表面积等于 。
(3)已知AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，
EA — EB — 3, AD — 2, ZAEB — 60。，则多面体E — ABCD的外接球的表面积
为 。
类型五、折叠模型
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图 11)
图11
第一步：先画出如图所示的图形，将ABCD画在小圆上，找出ABCD和AABD的外心竹
和H ；
2
第二步：过H和H分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O,连 12
接 OE, OC ；
第三步：解AOEH，算出OH，在RtAOCH中，勾股定理：OH2 + CH2 — OC2
1 1 1 1 1
例5三棱锥P — ABC中，平面PAC丄平面ABC，△ PAC和AABC均为边长为2的正三
角形，则三棱锥P - ABC外接球的半径为 .
类型六、对棱相等模型(补形为长方体)
题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径( AB—CD ， AD—BC，
AC— BD)
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步:设出长方体的长宽咼分别为a,b,c , AD — BC = x , AB — CD — y , AC = BD — z , 列方程组，
< b2 + c2 — y2 n (2R)2 — a2 + b2 + c2 —
图12
补充: V
A-BCD
11
—abc 一 abc x 4 — — abc
6 3
x 2 + y 2 + z 2 第三步：根据墙角模型，2R —、：a2 + b2 + c2 —
R2 - x2 + y2 + z2，R- ,：x2 + y2 + z2，求出 R,
例如，正四面体的外接球半径可用此法。
例 6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如
图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是 .
2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个
大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A．
B．
4
D．
亘
12
(4)如图所示三棱锥A — BCD，其中AB = CD = 5, AC = BD = 6, AD = BC = 7,则该三
棱锥外接球的表面积为 .
类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型
C
图13
题设：ZAPB = ZACB = 90，求三棱锥P — ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中
点O,连接
1
OP, OC，则OA = OB = OC = OP = — AB，•. O为三棱锥P — ABC外接球球心，然后在
2
OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，
只要不是平角球半径都为定值。
例7 （1）在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角
B — AC — D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）
D．
1—5
3
1—5 1—5 1—5
A. 兀 B. 兀 C. 兀
1—9 6
类型八、锥体的内切球问题 ：如图14,三棱锥P — ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：先现出内切球的截面图， E,H 分别是两个三角形的外心；
D H
B
图14
第二步：求DH = 3BD , PO = PH — r , PD是侧面AABP的高;
OE PO
第三步：由APOE相似于APDH，建