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第五章二次型
本章利用矩阵工具来研究一般的二次齐次多项式,即二次型的问题。主要讨论实二次型化为只含平方项的二次型的方法和一种重要的二次型——正定二次型以及与之相应的正定矩阵。
第一节二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念

称为二次型
取,则于是(5-1)式可写成
(5-2)
当为复数时,f称为复二次型;当为实数时,f称为实二次型。下面,我们仅讨论实二次型。
由(5-2),利用矩阵,二次型可表示为
,
记
A=,x=,
则二次型可记作
(5-3)
其中A为对称矩阵,称A为二次型的矩阵。称r(A)为二次型的秩。这样实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的关系。
已知二次型
f(x,y)=,
写出该二次型的矩阵A,并求出二次型的秩。
解设f=,则
,x=,
显然,r(A)=2。
已知二次型
写出二次型的矩阵A,并求出二次型的秩。
解设f=,则
A=
不难求出r(A)=4.
定义:设
x=, y=,
P=, (5-5)
其中P是可逆矩阵,称x=P y为变量到变量的非退化的线性变换。
如果对二次型(5-3)施行由(5-5)式确定的非退化线性变换
x=P y,则
(5-6)
显然也是对称矩阵,二次型f 关于新变量也是二次型。这可归结为下面的定理:
二次型=经非退化线性变换
x=P y后,仍为二次型
,
二次型的矩阵为,其中x , y,P如(5-5)式所示。
记关于变量的二次型的矩阵为B,则两个二次型的矩阵有下述关系:
(5-7)
我们称具有这样关系的两个n阶矩阵为合同矩阵。
二、矩阵的合同关系
设A,B为两个n阶矩阵,如果存在可逆矩阵P,使得
B=
则称矩阵A和B合同。
合同反映了矩阵之间的一种关系,显然它具有如下的性质:
(1)自反性;
(2)对称性;
(3)传递性。
化实二次型为标准形
如果一个二次型只含变量的平方项,则称这个二次型为标准形(或法式)
由于实二次型的矩阵A为实对称矩阵,,使得
,其中为对角矩阵。从而,我们只要取Q为线性变换的矩阵,令x=Q y,就可以将二次型化为标准形。矩阵Q非奇异,因而x=Q y为非退化的线性变换,由于Q是正交变换,也称变换为正交变换。从而我们有:
定理5。2 对任何实二次型,必存在非退化的线性变换x=P y,使得关于新变量的二次型为标准形。
下面我们介绍三种化二次型为标准型的方法。
一、正交变换法
我们已经知道,对任一个n阶实对称矩阵A,一定存在正交矩阵Q,使得,
其中为A的特征值。正交变换法就是找这样的一个正交矩阵Q,并作相应的线性变换x=Q y,则就可以将二次型化为标准形。下面我们通过具体的例子来说明其具体的步骤。
求一正交变换x=Q y,把二次型
化为标准形
解(1)写出二次型的矩阵
A= .
(2)求出矩阵A所有的特征值和对应的特征向量,并将每一个特征值对应的特征向量正交单位化。
A的特征多项式为
| |=.
A的特征值为
.
对,齐次线性方程组(A—E)X=0 的基础解系为
。
先正交化,再单位化得
。
对于,齐次线性方程组(A+3E)X=0 的基础解系为
,
单位化得
。
(3)写出变量的正交变换,化二次型为标准形
令
Q=,
则有正交变换x=Q y使二次型化为
。
由于矩阵Q为正交矩阵,所以所作的线性变换为正交变换。,用正交变换化二次型为标准形时,标准形的系数为二次型矩阵A的特征值,即
,是矩阵A的n个特征值.
二、配方法
用正交变换化二次型成标准形,具有保持集合形状不变的优点。如果不限于用正交变换,那么还可以有多种方法。配方法就是其一。
配方法就是初等数学中的完全平方的方法。我们仍通过例子来说明这种方法。