求数列通项公式的十种方法.doc

求数列通项公式方法大全
一、累加法
适用于： ----------这是广义的等差数列 累加法是最根本的二个方法之一。
例1 数列满足，求数列的通项公式。
解：由得那么
所以。
例2 数列满足，求数列的通项公式。
解法一数法〕
解：原递推式可化为
比拟系数可得：x=-6,y=9,上式即为
所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：故.
4．形如 (其中a,b,c是常数，且)
根本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
例10 数列满足，求数列的通项公式。
解：设
比拟系数得， 所以
由，得
那么，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，那么。

分析：原递推式可化为的形式，比拟系数可求得，数列为等比数列。
例11 数列满足，求数列的通项公式。
解：设
比拟系数得或，不妨取，〔取-3 结果形式可能不同，但本质相同〕
那么，那么是首项为4，公比为3的等比数列
，所以
，假设,且满足,求.
答案： .
四、迭代法 (其中p,r为常数)型
例12 数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以
又，所以数列的通项公式为。
注：此题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。
例13.〔2022江西卷〕数列，
〔1〕证明 〔2〕求数列的通项公式an.
解：〔1〕略〔2〕所以
又bn=－1，所以.
方法2：此题用归纳-猜测-证明，也很简捷，：设c，那么c,转化为上面类型〔1〕来解
五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p>0，
例14. 设正项数列满足，〔n≥2〕.求数列的通项公式.
解：两边取对数得：，，设，那么 是以2为公比的等比数列， ，，，∴
练习 数列中，，〔n≥2〕，求数列的通项公式.
答案：
例15 数列满足，，求数列的通项公式。
解：因为，所以。
两边取常用对数得
设 〔同类型四〕
比拟系数得，
由，得，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，那么，因此
那么。
六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例16 数列满足，求数列的通项公式。
解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，
七、换元法 适用于含根式的递推关系
例17 数列满足，求数列的通项公式。
解：令，那么 代入得
即
因为， 那么，即，可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，那么，即，得
。
八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。
例18 数列满足，求数列的通项公式。
解：由及，得
由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论。
〔1〕当时，，所以等式成立。
〔2〕假设当时等式成立，即，那么当时，
由此可知，当时等式也成立。根据〔1〕，〔2〕可知，等式对任何都成立。
九、阶差法〔逐项相减法〕
1、递推公式中既有，又有
分析：把关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。
例19 数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。
解：∵对任意有 ⑴
∴当n=1时，，解得或
当n≥2时， ⑵
⑴-⑵整理得： ∵各项均为正数，∴
当时，，此时成立
当时，，此时不成立，故舍去 所以
练习。数列中, 且,求数列的通项公式.
答案：
2、对无穷递推数列
例20 数列满足，求的通项公式。
解：因为 ①
所以 ②
用②式－①式得 那么 故
所以 ③
由，，那么，又知，那么，代入③得。所以，的通项公式为
十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比〔差〕数列的方法
不动点的定义：函数的定义域为，假设存在，使成立，那么称为的不动点或称为函数的不动点。
分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。
类型一：形如
例21 数列中，，求数列的通项公式。
解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1
∴，……
类型二：形如
分析：递归函数为
〔1〕假设有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴
〔2〕假设有两个相同的不动点p，那么将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得，其中。
例22. 设数列满足,求数列的通项公式.
分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.
解：对等式两端同时