最小二乘法在误差中的应用.docx

误差理论综述与最小二乘法讨论
摘要:本文对误差理论和有关数据处理的方法进行综述。并且针对最小二乘法(LS)的创立、发展、思想方法等相关方面进行了研究和总结。同时,将近年发展起来的全面最小二乘法(TLS)同传统最小二乘法进行了对比。
误差的有关概念
对科学而言,各种物理量都需要经过测量才能得出结果。许多物理量的发现,物理常数的确定,都是通过精密测量得到的。任何测试结果,都含有误差,因此,必须研究,估计和判断测量结果是否可靠,给出正确评定。对测量结果的分析、研究、判断,必须采用误差理论,它是我们客观分析的有力工具

一个物理量的测量值应由数值和单位两部分组成。按实验数据处理的方式,测量可分为直接测量、间接测量和组合测量。
直接测量:可以用测量仪表直接读出测量值的测量。
间接测量:有些物理量无法直接测得,需要依据待测物理量与若干直接测量量的函数关系求出。
组合测量:如有若干个待求量,把这些待求量用不同方法组合起来进行测量,并把测量结果与待求量之间的函数关系列成方程组,用最小二乘法求出这个待求量的数值,即为组合测量。

误差是评定测量精度的尺度,误差越小表示精度越高。若某物理量的测量值为y,真值为Y,则测量误差dy=y-Y。虽然真值是客观存在的,但实际应用时它一般无从得知。按照误差的性质,可分为随机误差,系统误差和粗大误差三类。
随机误差: 是同一测量条件下,重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。
系统误差: 是同一测量条件下,重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。
粗大误差: 指超出在规定条件下预期的误差。

当对同一量值进行多次等精度的重复测量,得到一系列的测量值,每个测量值都含有误差,这些误差的出现没有特定的规律,但就误差的总体而言,却有统计规律。

通过对大量的测量数据的观察,人们发现测量列的随机误差有以下几个特征:
绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等,即误差的对称性;
绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多,即误差的单峰性;
在一定的测量条件下,随机误差的绝对值不会超过一定界限,即误差的有界性;
随着测量次数的增加,随机误差的算术平均值趋于零,即误差的抵偿性。
正态分布曲线如下图1-1所示。正态分布时区间(μ-σ,μ+σ)%; (μ-,μ+)的面积占总面积的95%;区间(μ-,μ+)的面积占总面积的99%。
图1-
t分布
t分布是小样本分布,小样本分布一般是指n<30。t分布适用于当总体标准差σ未知时用实验标准差s代替总体标准差σ,由样本平均数推断总体平均数以及2个小样本之间差异的显著性检验等。关于t分布的早期理论工作,是英国统计学家威廉·西利·戈塞特(wiliamsealy Gosset)在 1900年进行的。

系统误差是由固定不变的或按某种规律变化的因素造成的,这些误差因素可能是由于:
(1)测量装置的原因:仪器设计上的缺欠,仪器零件制造和安装的不正确,仪器附件的制造偏差。
(2)测量环境的原因:测量过程中温度、湿度等按一定的规律变化。
(3)测量方法的原因:采用近似的测量方法或近似的计算公式引起的误差。
(4)测量人员的原因:由于测量人的个人特点导致的测量误差。
系统误差具有确定的规律性,这与随机误差有根本区别。
对于测量中存在的较为显著的系统误差,可以通过一些检验方法和手段发现。如:1. 通过实验对比检验系统误差;;3. 对测量数据进行直接判断;4. 用统计方法进行检验。

测量数据中包含随机误差和系统误差是正常的,只要测量误差在一定的范围内,测量结果就是正确的。但当测量者在测量时由于疏忽造成错误读取示值,错误纪录测量值,错误操作以及使用有缺欠的计量器具时,会出现粗大误差,此数据的误差分量明显偏大,即明显歪曲测量结果。
对于粗大误差,有以下几种判别方法:
(1)莱依特准则(3σ准则):
若对某一物理量等精度重复测量n次,得测量值,如果某测得值的残差大于3倍的标准差,即|v|>3σ,该数据为异常数据,应剔除。莱依特准则的合理性是显然的,对服从正态分布的随机误差,其残差落在(-3σ,3σ)%,当在有限次测量中发生的可能性很小,认为是不可能发生的。
(2)肖维勒准则:
若对某一物理量等精度重复测量n次,得测量值,若认为为可疑数据,若此数据的残差|v|>Zσ,则此数据为异常数,应剔除。实用中Z<3,这在一定程度上弥补了3σ准则的不足。Z是与测量次数n有关的系数。