线性代数中必考知识点归纳总结.docx

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1•n行列式共有n?个元素,展开后有n硕,可分解为2行列式;
代数余子式的性质:
、;
、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为
0;
、某行(列)的元素乘以该行l-LI UU/\Uk/\/Tn
1•n行列式共有n?个元素,展开后有n硕,可分解为2行列式;
代数余子式的性质:
、;
、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为
0;
、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为a;
代数余子式和余子式的尖系:m-(_1)询 Aj=(」)M]
设n行列式D:
将D上、下翻转或左右翻转,所得行旬亶为0,则Q=(_1)厂D;将D顺时针或逆时针旋转90:,所得行列式)为D2,则D2=(_1)FD将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为6,则6二d;将d主副角线翻转后,所得行列式为6,则d4=d;
行列式的重要公式:
、主对角行列式:主对角元素的乘积;
②、副对角行列式:副对角元素的乘积
/n(n1)
(1)一h;
③、上、下三角行列式(二|):主对角元素的乘积;
匚和上:副对角元素的乘积(」)2;
拉普拉斯展;ff式:AO=A:=a|b'cA=:A=(_i)mn「A]B
CBOBi BOBC
、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;
、特征值;
n
对于n阶行列式|A,恒有:Si」,其中Sk为k阶主子式;
k=1
证明a-0的方法:
、反证法;
、构造齐次方程组Ax=0-证明其有非零解;
、利用秩,证明「(A): : :n;
、证明o是其特征值;
、矩阵
1・A是n阶可逆矩阵:
A-0
mna, x、"
“的行(列)向量组线性无尖;
二齐次方程组Ax二0有非零解;
-bR?Ax=b总有唯一解;
二A与E等价;
:=A可表示成若干个初等矩阵的乘积;
二a的特征值全不为0;
二心是正定矩阵;
“的行例)向量组是R”的一组基;
二▲是R"中某两组基的过渡矩阵;
对于n阶矩阵A:AA=A*A=AE无条件恒成立;
(A)=(A) (A)t=(At) (A)t=(At)
(AB)t=BtAt (AB)*=B*A* (AB^B1Ai
矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值'可求代数和;尖于分块
5•矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:
,则:
Of
②、 B
AC : 人
、 A) 一
O>
IAO*-1/
C B
A|AJA2HIAs
;(主对角分块)
;(副对角分
块)
块’ ;(拉普拉
AiO 斯)
OOmn'
等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;
对于同型矩阵 若「(A)=r(B厂二ALB;
2行最简形矩阵:
、只能通过初等行变换获得;
、每行首个非o元素必须为1;
、每行首个非o元素所在列的其他元素必须为o;
3初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
、若(A,E) (E,X),贝SA可逆,且X=A」;
、对矩阵(AB)做初等行变化当A变为E时,B就变成A二B,即:
(A,bE七)
③、求解线性方程组:对于n个未知数n个方程Ax=b,如果(代bA(E,X),则A可逆,且X
二A」b;
:
①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
ri
②、”,左乘矩阵A,,乘A的各行元素;右乘,『乘A的各列元素;
『
③、对调两行或两列'符号E(i,j),且E(i,j)±二E(i,j),例如: 1
1
④⑤、倍倍某行或某列符号E(i(k))'且E(i(0=)
E(i,
例如:
-kA
某行或某列'符号
E(ij(k)),且E(ij(k))°=E(ijCk))'女口:
1 堂1C
5笔阵秩的基本性质:1J
、
y/z■\ / - '/7
、若AL|B,贝Sr(A)—r(B);
、若p、q可逆,则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)
(5)、max(r(A),r(B;;<r(A,B;<r(A)-r(B);(今
、r(A-B;<r(A)r(B);(探)
、r(AB)Amin(r(A),r(B));(探)
、如果A是mn矩阵,B是ns矩阵,且AB二o,贝J:(落
I、8的列向量全部是齐次方程组AX=QA(转置运算后的结论);
n>r(A)-r(B;<n
⑨、若A・B均为n阶方阵,则r(AB)」(A)r(B)_n;
:
、秩为1的矩阵:一定可以分解为