圆知识点总结典型例题.doc

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圆的知识点总结
〔一〕圆的有关性质
[知识归纳]
:
圆、圆心、半径、圆的部、圆的外部、同心圆、等圆;
弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高;
圆的接三角形、三角形的外接圆、-
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圆的知识点总结
〔一〕圆的有关性质
[知识归纳]
:
圆、圆心、半径、圆的部、圆的外部、同心圆、等圆;
弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高;
圆的接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆接多边形、多边形的外接圆;圆心角、圆周角、圆接四边形的外角。

圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴,圆有无数条对称轴;
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形;
圆具有旋转不变性。

不在同一条直线上的三点确定一个圆。

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧;
推论1
〔1〕平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
〔2〕弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
〔3〕平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个,就可推出另外三个:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦〔不是直径〕;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
、弧、弦、弦心距之间的关系
定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等;所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,则它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成:在同圆或等圆中,满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个:①两个圆心角相等;②两个圆心角所对的弧相等;③两个圆心角或两条弧所对的弦相等;④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
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定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;
推论1同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等;
推论2半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;
推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半,则这个三角形是直角三角形。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

圆接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的对角。
※
轨迹符合*一条件的所有的点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹。
〔1〕平面,到一定点的距离等于定长的点的轨迹,是以这个定点为圆心,定长为半径的圆;
〔2〕平面,和线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线;
〔3〕平面,到角两边的距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线。
[例题分析]
例1.:如图1,在⊙O中,半径OM⊥弦AB于点N。
图1
①假设AB=,ON=1,求MN的长;
②假设半径OM=R,∠AOB=120°,求MN的长。
解:①∵AB=,半径OM⊥AB,∴AN=BN=
∵ON=1,由勾股定理得OA=2
∴MN=OM-ON=OA-ON=1
②∵半径OM⊥AB,且∠AOB=120°∴∠AOM=60°
∵ON=OA·cos∠AON=OM·cos60°=
∴
说明:如图1,一般地,假设∠AOB=2n°,OM⊥AB于N,AO=R,ON=h,则AB=2Rsinn°=2htann°=
例2.:如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=25°,以点C为圆心、AC为半径作⊙C,交AB于点D,求的度数。
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图2
分析:因为弧与垂径定理有关;与圆心角、圆周角有关;与弦、弦心距有关;弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系,因此这道题有很多解法,仅选几种供参考。
解法一:〔用垂径定理求〕如图2-1,过点C作CE⊥AB于点E,交于点F。
图2-1
∴
又∵∠ACB=90°,∠B=25°,∴∠FCA=25°
∴的度数为25°,∴的度数为50°。
解法二:〔用圆周角求〕如图2-2,延长AC交⊙C于点E,连结ED
图2-2
∵AE是直径,∴∠ADE=90°
∵∠ACB=90°,∠B=25°,∴∠E=∠B=25°
∴的度数为50°。
解法三:〔用圆心角求〕如图2-3,连结CD
图2-3
∵∠ACB=90°,∠B=25°,∴∠A=65°
∵CA=CD,∴∠ADC=∠A=65°
∴∠ACD=50°,∴的度数为50°。
例3.:如图3,△ABC接于⊙O且AB=AC,⊙O的半径等于6cm,O点到BC的距离