最新换元法.doc

换元法
换元法
换元法:又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代换元法
换元法
换元法:又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原那么,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。利用换元法解数学题的关键在于适当地选择“新元〞,引进适当的代换,找到较容易的解题思路,能使问题简化。使用换元法时要注意“新元〞的范围,“新元〞所受的限制条件还要注意根据题设条件验证结果。换元的总目的是化繁为简,具体地说是:化超越为代数,化无理为有理,化分式为整式,化高次为低次等等。
运用换元法解题时,要引入什么样的“新元〞和怎样引入“新元〞,不同的问题有不同的方法和技巧。
换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。换元的种类有:等参量换元、非等量换元。
局部换元又称整体换元,是在或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如:解不等式:+-2≥0,先变形为设=t〔t>0〕,而变为熟悉的一元二次不等式:+t-2≥0求解得:t≥1,t≤-2指数函数的单调性求解≥1,≤-2的问题。x≥0,x≤
三角换元:应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=的值域时,假设x∈[-1,1],设x=sinα,sinα∈[-1,1],问题变成了熟悉的求三角函数值域。如变量x、y适合条件时(r>0),那么可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。
均值换元:如遇到x+y=2S形式时,设x=S+t,y=S-t等等。

   分析:从式子的特征来看,可把各看作一个整体使问题简化,事实上,此题解法较多,下面提供三种方法,供同学们学习参考。
   解:法一:对和换元,用换元法解
   设
   那么原式
         
         
         
         
         
         
         
         
   法二:用换元法来解
   设,那么
   原式
      
      
      
      
   法三:将原式整理成关于x的二次三项式
   原式
       
       
       
  在函数中的应用
1、求函数的定义域
例2、设函数y=f(x