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巧解外接球问题

摘要:外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜,本文就长方体、正方体及棱锥的外接球有关问题,给出了特殊解法。
关键词:巧解外接球问题
《普通高中数学课程标准》中对立体几何初步的学习提出了基本要求:“在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形;再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;……。”由此可见,长方体模型是学习立体几何的基础,掌握长方体模型,对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用。有关外接球的立体几何问题是近年各省高考试题的难点之一,这与学生的空间想象能力以及化归能力有关,本文通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈几种解法。
一、直接法
1、求正方体的外接球的有关问题
例1 (2006年广东高考题)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为.
解析:要求球的表面积,,所以它的体对角线正好为球的直径,因此,求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长,.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为,则该球的体积为.
解析:要求球的体积,还是先得求出球的半径,而球的直径正好是正方体的体对角线,因此,由正方体表面积可求出棱长,.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 (2007年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为,则此球的表面积为.
解析:关键是求出球的半径,因为长方体内接于球,所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为
,故球的表面积为.
例4、(2006年全国卷I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为( ).
A. B. C. D.
解析:正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,因此,长方体的长、宽、高分别为2,2,4,于是等同于例3,故选C.
二、构造法
1、构造正方体
例5 (2008年福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球的表面积是.
解析:此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后再设出球心,,我们更想使用较为便捷的方法,所以三条侧棱两两垂直,使我们很快联想到长方体的一个角,马上构造长方体,且侧棱长均相等,所以可构造正方体模型,如图1,则,那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线,故所求表面积是.(如图1)
图2
图1
例 6 (2003年全国卷)一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
A. B. C. D.
解析:一般解法,需设出球心,作出高线,构造直角三角形,,由于所有棱长都相等,我们联想只有正方体中有这么多相等的线段,所以构造一个正方体,再寻找棱长