高等代数-2023.doc

线性代数高等代数2023
适用专业:数学,系统分析与集成。
本试卷共有八大题。
1〔20分〕:设,,其中为阶矩阵,而且,求。
解:因为〔8分〕,所以〔2分〕,而〔9分〕,这样有:
〔1分〕
2〔20分〕:设是n阶可逆方阵,.
线性代数高等代数2023
适用专业:数学,系统分析与集成。
本试卷共有八大题。
1〔20分〕:设,,其中为阶矩阵,而且,求。
解:因为〔8分〕,所以〔2分〕,而〔9分〕,这样有:
〔1分〕
2〔20分〕:设是n阶可逆方阵,.
(1):计算(是整数)〔10分〕.
(2).假设,为6阶方阵,而且,求〔10分〕。
解:(1)因为是n阶可逆方阵,所以,所以对任意整数有〔10分〕。
(2)由知道,
〔5分〕,
而且,〔5分〕
3〔20分〕:设为阶矩阵,如果的伴随矩阵不为零矩阵,而且。
1〕求线性方程组〔其中为维未知列向量〕的通解〔12分〕。
2〕进一步如果为3阶对称矩阵,而且每行只有两个非零元素,求〔8分〕。
解:因为,所以至少有一个阶子式不为0〔4分〕,由于,所以〔4分〕。这样我们知道的根底解系指含一个非零元素,那么有
1〕通解为〔4分〕。
2〕由于每行只有两个非零元素,而且,所以这两个非零元素应该为形式〔4分〕,再由为3阶对称矩阵知道:
〔4分〕。
4〔20分〕.设,其中为互不相同的整数,求证:存在整系数多项式其在有理数域上不可约和整数,使得。
证明:如果,结论显然成立,不妨设结论对次数小于的这样多项式成立。对于,如果不可约,那么可设,结论成立〔5分〕。现在设可约,那么存在两个整系数非常数多项式使〔3分〕,那么有
,所以,由于为互不相同的整数,所以有,那么,这样为偶数,而且的首项系数为1〔6分〕。因为
,所以,由此知道至少有个使得或者等于-1,不妨设为1,那么可设,这样有:
〔4分〕
由归纳知道存在整系数多项式其在有理数域上不可约和整数,使得,所以有。结论得证。〔2分〕
5〔30分〕:设为阶实对称矩阵,而且正定。
〔1〕求证存在正定矩阵使得,而且唯一〔15分〕。
〔2〕如果,求的特征值和特征向量,由此求〔1〕中正定矩阵使得〔15分〕。
解:1〕:设为的个特征值,那么存在正交矩阵使得:
因为正定,所以所有特征值皆大于0,这样如果设,那么有,而且显然正定〔5分〕。
下面证明唯一。如果,其中正定,那么有,设。正定,所以可以设,其中正定,那么有,所以与有相同特征值,而为实对称矩阵,所以知道知道特征值皆为实数,但是是反对称矩阵,所以的特征值为0或者纯虚数,这样特征值皆为0〔反对称矩阵特征值皆为0,那么其为零矩阵。这个结论对对称矩阵也成立,但对一般矩阵不成立〕,所以,那么,而正定,所以可逆,那么。得证〔10分〕。
2〕:,所以的特征值为1,1,16〔5分〕。当特征值为1时有两个线性无关的