95椭圆.docx

§ 椭圆
教学目标
,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
(注意定义中的限制条件)、几何图形、标准方程和简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
、待定系数法、定义法求椭圆的标准方程,并注意其标准方程有两种形式.
.
学习内容
知识梳理

1. 椭圆的概念
在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合),两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若a>c,则集合P为椭圆;
(2)若a=c,则集合P为线段;
(3)若a<c,则集合P为空集.
2. 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
+=1 (a>b>0)
+=1(a>b>0)
图形
性
质
范围
-a≤x≤a-b≤y≤b
-b≤x≤b-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0)
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a)
B1(-b,0),B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|=2c
离心率
e=∈(0,1) a,b,c的关系
c2=a2-b2
例题讲解

题型一椭圆的定义及标准方程
例1 (1)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,且点N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点P(3,0),则椭圆的方程为________.
(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1)、P2(-,-),则椭圆的方程为________.
思维启迪(1)题主要考虑椭圆的定义;
(2)题要分焦点在x轴和y轴上两种情况;
(3)可以用待定系数法求解.
答案(1)B (2)+y2=1或+=1
(3)+=1
解析(1)点P在线段AN的垂直平分线上,
故|PA|=|PN|,
又AM是圆的半径,
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,
由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆.
(2)若焦点在x轴上,设方程为+=1(a>b>0),
∵椭圆过P(3,0),∴+=1,即a=3,
又2a=3×2b,∴b=1,方程为+y2=1.
若焦点在y轴上,设方程为+=1(a>b>0).
∵椭圆过点P(3,0).∴+=1,即b=3.
又2a=3×2b,∴a=9,∴方程为+=1.
∴所求椭圆的方程为+y2=1或+=1.
(3)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).
∵椭圆经过P1、P2点,∴P1、P2点坐标适合椭圆方程.
则
①、②两式联立,解得
∴所求椭圆方程为+=1.
思维升华(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件.
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1 (m>0,n>0,m≠n)的形式.
巩固(1)过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
(2)已知P是椭圆+=1上一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若∠F1PF2=60°,则△PF1F2的面积为________.
答案(1)+=1 (2)12
解析(1)方法一椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.
由椭圆的定义知,2a=+,解得a=2.
由c2=a2-b2可得b2=4.
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
方法二因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16.
设它的标准方程为+=1(a>b>0).
因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.①
又点(,-)在所求椭圆上,所以+=1,
即+=1.②
由①②得b2=4,a2=20,
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=20,①
在△PF1F2中,由余弦定理,
得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°=256.②
①2-②得|PF1|·