二重积分的计算方法利用极坐标计算.ppt

第二节二重积分的计算方法
第八章
(CalculationofDoubleIntegral)
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结与思考练习
Date
1
解法:类似定积分解决问题的思想:
复第二节二重积分的计算方法
第八章
(CalculationofDoubleIntegral)
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结与思考练习
Date
1
解法:类似定积分解决问题的思想:

给定曲顶柱体:
底:xoy面上的闭区域D
顶:连续曲面
侧面:以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求体积.
“大化小,常代变,近似和,求极限”
记作
记作
Date
2
复习:直角坐标系情形:
若积分区域为
则
若积分区域为
则
Date
3
其中D是抛物线
所围成的闭区域.
解:为计算简便,先对x后对y积分,
及直线
则
例1计算
Date
4
一、利用极坐标计算二重积分
对应有
在极坐标系下,用同心圆r=常数
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
在
内取点
及射线=常数,分划区域D为
Date
5
即
则
设
Date
6
Date
7
其中D为由圆
所围成的
及直线
解:
平面闭区域.

Date
8
特别地,对
若f≡1则可求得D的面积
Date
9
思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试
答:
问的变化范围是什么?
(1)
(2)
Date
10
其中
解:在极坐标系下
原式
的原函数不是初等函数,
故本题无法用直角
由于
故
坐标计算.
例4计算
Date
11
利用例4可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
事实上,当D为R2时,
利用例6的结果,得
①
故①式成立.
注:
Date
12
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解:设
由对称性可知
例5求球体
Date
13
内容小结
直角坐标系情形:
若积分区域为
则
若积分区域为
则
Date
14
则
极坐标系情形:若积分区域为
Date
15
课外练习
习题8-2第二次作业
7(1)(2)(4);
8;11;12(选做)
Date
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第二节二重积分的计算方法
第八章
(CalculationofDoubleIntegral)
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结与思考练习
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解法:类似定积分解决问题的思想:

给定曲顶柱体:
底:xoy面上的闭区域D
顶:连续曲面
侧面:以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求体积.
“大化小,常代变,近似和,求极限”
记作
记作
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一、利用直角坐标计算二重积分
曲顶柱体的底为
任取
平面
故曲顶柱体体积为
截面积为
截柱体的
设曲顶柱体的顶为
X型区域
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(3)求二次积分(注意不要代错了变元)
Date
20
同样,若曲顶柱的底为
则其体积可按如下两次积分计算
Y型区域
Date
21
为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.
则有
(2)若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域,
则
说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,
Date
22
均非负
在D上变号时,
因此上面讨论的累次积分法仍然有效.
由于
当被积函数
补充说明(课本没有):
Date
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其中D由
所围成.
解:令
(如图所示)
显然,

Date
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其中D是抛物线
所围成的闭区域.
解:为计算简便,先对x后对y积分,
及直线
则
例4计算
Date
25
解:
原式

的次序.
改变积分
Date
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且
求
提示:
交换积分顺序后,x,y互换
Date
27
例7求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.
解:设两个直圆柱方程为
利用对称性,考虑第一卦限部分,
其曲顶柱体的顶为
则所求体积为
Date
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内容小结
直角坐标系情形:
若积分区域为
则
若积分区域为
则
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课外练习
习题8-2第一次作业
2;3(3)(4);4(2)(4)(6);6;
Date
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