函数单调性 (1).ppt

第三章导数
二导数的应用
函数的单调性
学习目的:
,并会灵活应用。
,加深对函数导数的理解,提高用导数解决实际问题的能力,增强数形结合的思维意识。
复习引入:
问题:怎样利用函数单调性的定义来讨论其
在定义域的单调性
,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,
(1)若f(x1)<f (x2),那么f(x)在这个区间上是增函数.
(2)若f(x1)>f (x2),那么f(x)在这个区间上是减函数.
:
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值,且x1< x2.
(2)作差f(x1)-f(x2),并变形.
(3)判断差的符号,从而得函数的单调性.
例1 讨论函数y=x2-4x+3的单调性.
解:取x1<x2,,x1、x2∈R,
f(x1)-f(x2)=(x12-4x1+3)-(x22-4x2+3)
=(x1+x2)(x1-x2)-4(x1-x2)
= (x1-x2)(x1+x2-4)
则当x1<x2<2时, x1+x2-4<0, f(x1)>f(x2),
所以 y=f(x)在区间(-∞,2)单调递减。
当2<x1<x2时, x1+x2-4>0, f(x1)<f(x2),
所以 y=f(x)在区间(2,+∞)单调递增。
综上 y=f(x)单调递增区间为(2,+∞)
y=f(x)单调递减区间为(-∞,2)。
0
y
x
1
2
-1
-2
单增区间:(-∞,-1)和
(1,+∞).
例2 讨论函数y=x+ 的单调性。
x
1
单减区间:(-1,0)和
(0,1).
发现问题:用单调性定义讨论函数单调性虽然可行,但十分麻烦,尤其是在不知道函数图象时,如:y=x+1/x.
是否有更为简捷的方法呢?下面我们通过单调函数的图象来考察一下:
单调性的判别法
从几何图形上看,表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时,曲线总是上升(下降)的。
这就启示我们:能否利用导数的符号来判定单调性?
进一步,若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正(负),即切线的倾角全为锐(钝)角,曲线就是上升(下降)的.
2
y
x
0
.
.
.
.
.
.
.
观察函数y=x2-4x+3的图象:
总结:该函数在区间
(-∞,2)上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,
在区间(2,+∞)上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.
而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.
函数在该点单调性发生改变.
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间
内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,
则f(x)为常数函数.
结论应用:由以上结论可知,函数的单调性与其导数有关,即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性。现举例说明: