第一章矢量分析
§ 矢量表示法和代数运算 § 通量与散度,散度定理 § 环量与旋度,斯托克斯定理
§ 方向导数与梯度,格林定理 § 曲面坐标系 § 亥姆霍兹定理
§1 .1 矢量表示法和代数运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和差
若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 一个矢量就确定了。例如在直角坐标系中, 矢量A的三个分量模值分别是Ax , Ay , Az, 则A可表示为
该矢量的模为
A的单位矢量为
把两个矢量的对应分量相加或相减, 就得到它们的和或差。设
则
图 1 -1 直角坐标系中矢量的分解
图 1 -2 矢量的相加和相减
1 .1 .2 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
它符合交换律:
并有
因而得
矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模值相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手螺旋关系, 为A , B崐所在平面的右手法向:
它不符合交换律。由定义知,
并有
故
A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z, 其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
1 .1 .3 三重积;
矢量的三连乘也有两种。标量三重积为
矢量三重积为
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
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