D6_7几何应用..pdf

一、1 第六章
定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
二、平面曲线的弧长
三、已知平行截面面积函数的
立体体积
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一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形 y y  f (x)
设曲线与直线
及 x 轴所围曲
o a x b x
边梯形面积为 A , 则 x  dx
dA  f (x)dx
y y  f (x) y  f (x)
b 1 2
A  f (x)dx
a
右下图所示图形面积为
b
A  f (x)  f (x) dx o a x x  d x x
a 1 2 b
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例1. 计算两条抛物线在第一象限
所围图形的面积.
解: 由 y
2
得交点(0, 0) , (1,1) y  x (1,1)
1 2
 AdA  x  x2 dx y  x
0 
o x 1 x
x  d x
1

3
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4
例2. 计算抛物线 y2  2x 与直线 y  x  4 所围图形
的面积.
解: 由得交点 y
y2  2x
y  d y (8,4)
(2,  2) , (8, 4) y
为简便计算, 选取 y 作积分变量, o x
y  x  4
则有
(2, 2)
4
 AdA ( y  4  1 y2 )dy
2 2
18
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例3. 求椭圆所围图形的面积.
y
解: 利用对称性, 有 d A  ydx b
a
A  4 y d x
0
利用椭圆的参数方程 o x x  d x a x
 x  acost
(0  t  2)
 y  bsint
应用定积分换元法得

 4ab 2 sin2 t dt
0
 4ab 1  ab 当 a = b 时得圆面积公式
 2 2
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2、一般地, 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值
则曲边梯形面积
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例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.
2
解: AdA a(1 cost)a(1 cost)d t
0
2 y
 a2 (1 cost)2 d t
0
o 2 a x
2
 a2 (1 2cost  cos2 t)d t
0
2 3 cos 2t  2
 a2  2cost d t  3 a
0  2 2 
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3、极坐标方程
1 
A  r 2 ()d
2 

1 2 2
A r2 ()  r1 ()d
2 
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二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线, 当折线段的最大
边长→0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限, 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长, 即 M
y i1 Mi
n
s  lim M M
0  i1 i
i1 B  M n
A M0
并称此曲线弧为可求长的. o
x
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
y  f (x)
ds (dx)2 (dy)2 y ds
 1 y2 dx
因此所求弧长
b
s  1 y2 dx o a x x  d x b x
a
b
 1 f 2 (x) dx
a
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