排队论实验报告.docx

《排队现象的建模、解析与模拟》课程设计
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题目描述:排队系统的稳定性与什么有关?与系统的一步概率转移矩阵有什么关系?收敛速度快慢与什么有关?
解答过程:
(1)初始设定:
设初始状态X=(P1 P2 P3 … Pn),一步状态概率转移矩阵为P,最终系统趋于稳定的状态为Y=(Y1 Y2 Y3 … Yn),可知X和Y是一个固定不变的行向量,且P1+P2+P3+…+Pn=1,Y1+Y2+Y3+…+Yn=1。
(2)描述模型:
对排队系统最终趋于稳定的描述为:Y=X*Pn,n>N(N是一个足够大的数)。
(3)提出假想:
由(2)中对于系统最终趋于稳定状态的描述,因为X和Y都是固定的向量,所以,若系统趋于稳定,则Pn 收敛。假设P最终收敛为
Pσ=a1 a2 ⋯an⋮⋱⋮x1x2⋯xn ,由概率转移矩阵的性质可知各行概率之和为1,即a1+a2+…+an=1。
因为Y* Pσ= (Y1 Y2 Y3 … Yn)* a1 a2 ⋯an⋮⋱⋮x1x2⋯xn=Y=(Y1 Y2 Y3 … Yn),故提出猜测:概率转移矩阵收敛后各列的元素值相等。
(4)MATLAB验证猜想:
①
当n≥73时收敛:
②
当n≥38时收敛
③
当n≥11时收敛
④
当n≥3时收敛
⑤
P本身就是收敛后的结果
(5)结论:
经过一系列验证,得出系统的稳定性只与一步转移概率矩阵P有关,若P收敛,则系统趋于稳定,反之系统不稳定。并且P收敛后行和为1,每列元素值相同。
因为Y* Pσ= (Y1 Y2 Y3 …… Yn)* a1 a2 ⋯an⋮⋱⋮a1a2⋯an
=((Y1+Y2+Y3+…Yn)*a1 (Y1+Y2+Y3+…Yn)*a2 …(Y1+Y2+Y3+…Yn)*an)
=(a1 a2 … an)
所以最终的概率分布的结果是矩阵收敛后的一行。
收敛速度快慢与一步概率转移矩阵每列元素值的分布有关,若每列元素值分布比较均匀,则收敛速度较快,反之收敛速度较慢。每列元素值相等的矩阵,本身就是收敛后的结果。单位阵是一个特例,它每列元素值不相等,但是单位阵收敛。与单位阵类似的一类矩阵,即每列有且仅有一个1出现的矩阵,这类矩阵不会收敛。