中考圆知识点总结复习.pdf

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初中圆复习
一、圆的概念
集合形式的概念:1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂
线);       
3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内dr点C在圆内;Ad
 2、点在圆上dr点B在圆上;r
O
3、点在圆外dr点A在圆外;B
d
  三、直线与圆的位置关系  C
1、直线与圆相离dr无交点;
2、直线与圆相切dr有一个交点;
3、直线与圆相交dr有两个交点;
    
    r    
dd=rrd
四、圆与圆的位置关系
外离(图1)无交点dRr;
外切(图2)有一个交点dRr;
相交(图3)有两个交点RrdRr;
内切(图4)有一个交点dRr;
内含(图5)无交点dRr;
    ddd
    
RrRrRr
周1周2周3
ddr
RrR
周4周5:.
五、垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。      
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
     
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即
可推出其它3个结论,即:①AB是直径②ABCD③CEDE④弧BC弧BD
⑤弧AC弧AD中任意2个条件推出其他       3个结论。
A
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在⊙O中,∵AB∥CDCDO
∴弧AC弧BDOE
ABCD
B
六、圆心角定理
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对
E
的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
    F
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,O
D
即:①AOBDOE;②ABDE;
A
③OCOF;④弧BA弧BDCB
七、圆周角定理C
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
     
BO
即:∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
A
∴AOB2ACB
2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的
    DC
圆周角所对的弧是等弧;
即:在⊙O中,∵C、D都是所对的圆周角
∴CDBO
A
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直    角所对
C
的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙O中,∵AB是直径或∵C90
BA
∴C90∴AB是直径O
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形
C
BA
O:.
是直角三角形。
即:在△ABC中,∵OCOAOB
     
∴△ABC是直角三角形或C90
注意:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一
半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:在⊙O中,∵四边ABCD是内接四边形
CD
∴CB    AD180BD180
DAEC
B
AE
九、切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:∵MNOA且MN过半径OA外端
    
∴MN是⊙O的切线
O
2、性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。MAN
推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
      B
十、切线长定理
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长
相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。O
P
即:∵PA、PB是的两条切线
∴PAPB;PO平分BPAA
      
十一、圆幂定理
1、相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
D
BO
即:在⊙O中,∵弦AB、CD相交于点P,P
CA
∴PAPBPCPD
推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的
C
两条线段的比例中项。
即:在⊙O中,∵直径ABCD,BA
OE
D:.
       
∴CE2AEBE
2、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线
段长的比例中项。
即:在⊙O中,∵PA是切线,PB是割线A
2E
∴PAPCPBD
    O
3、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每P
条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如右图)。CB
即:在⊙O中,∵PB、PE是割线
∴PCPBPDPE
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
A
O1O2
如图:O1O2垂直平分AB。
     
B
即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B两点
∴O1O2垂直平分AB
A
十三、圆的公切线B
两圆公切线长的计算公式:C
O1
(1)公切线长:RtOOC中,AB2CO2OO2CO2;O2
1211   22
(2)外公切线长:      CO2是半径之差;内公切线长:CO2是半径之和
     
十四、圆内正多边形的计算
(1)正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形,有关计算在RtBOD中进行:OD:BD:OB1:3:2;
CC
B
OOO
BAAEDB
D
A
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在RtOAE中进行,OE:AE:OA1:1:2:
(3)正六边形:.
     
        
同理,六边形的有关计算在RtOAB中进行,AB:OB:OA1:3:2.
A
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
nR
1、扇形:(1)弧长公式:l;OSl
180
nR21
(2)扇形面积公式:SlRB
3602
n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积
2、圆柱:
(1)圆柱侧面展开图       D
AD1
SS2S=2rh2r2
表底侧周周周
2周周周周周
(2)圆柱的体积:VrhBC1
C
B1
3、圆锥侧面展开图
(1)SSS=Rrr2
表底侧O
12
(2)圆锥的体积:VrhR
3
C
ArB
十六、内切圆及有关计算。
(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。
abc
(2)△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径r=。
2
1
(3)S△ABC=r(abc),其中a,b,c是边长,r是内切圆的半径。
2AD
O
(4)弦切角:角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。
如图,BC切⊙O于点B,AB为弦,∠ABC叫弦切角,∠ABC=∠D。C
B
练习题
⊙O的半径为4cm,点A到圆心O的距离为3cm,那么点A与⊙O的位置关系是()

⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是
,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为AN弧的中点,点P是直径
MN上一个动点,则求PA+PB的最小值:.
       
_AB
_B
o
_M_O_N
_P
AC
E
D周2
_
4如图2,已知BD是⊙O的直径,⊙O的弦AC⊥BD于点E,若∠AOD=60°,则∠DBC的度数为
.
,则它的外接圆半径R=______,内切圆半径r=______.
7.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB为63,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是
.
、PB是⊙O的切线,切点是A、B,∠APB=50°,过A作⊙O直径AC,连接CB,则
∠PBC=______.
,AB是⊙O的直径,弦AC、BD相交于P,则CD∶AB等于

图4 图5
,点P为弦AB上一点,连结OP,过PC作PC⊥OP,PC交⊙O于C,若AP=4,PB=2,则
PC的长是

,如果直线与圆相交,且直线与圆心的距离为d,那么
<<d<12cm
≥>12cm
,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,P为切点,设AB=12,则两圆
:.
图6 图7
,PE是⊙O的切线,E为切点,PAB、PCD是割线,AB=35,CD=50,AC∶DB=1∶2,则
PA=______.
,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°,
求证:DC是⊙O的切线.
    
图8
,AB既是⊙C的切线也是⊙D的切线,⊙C与⊙D相外切,
⊙C的半径r=2,⊙D的半径R=6,求四边形ABCD的面积。
DC
B
A
,BC是⊙O的直径,A是弦BD延长线上一点,切线DE平分AC于E,求证:
(1)AC是⊙O的切线.(2)若AD∶DB=3∶2,AC=15,求⊙O的直径.(12分)
图10
,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且PC2=PE·PO.(1):.
求证:PC是⊙O的切线;(2)若OE∶EA=1∶2,PA=6,求⊙O的半径;(3)求sinPCA的值.(12分)
图11
,⊙O的两条割线AB、AC分别交圆O于D、B、E、C,弦DF//AC交BC于C.
(1)求证:ACFGBCCG;
(2)若CF=:△ABC为等腰三角形.
B
DGF
O·
AEC
,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,点P在⊙O上,∠1=∠C,
(1)求证:CB∥PD;
3
(2)若BC=3,sinP=,求⊙O的直径。
5
,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,PA是过A点的直线,∠PAC=∠B.
(l)求证:PA是⊙O的切线;PC
(2)如果弦CD交AB于E,CD的延长线交

PA于F,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,O
求AB的长和∠
F
:.
,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于点D,E为AB上的一点,DE=DC,以
D为圆心,DB长为半径作⊙D,A
求证:(l)AC是⊙D的切线;E
(2)AB+EB=AC.
BDC
,AB是⊙O的直径,以OA为直径的⊙O1;与⊙O的弦AC相交于D,DE⊥OC,垂足为E.
(l)求证:AD=DC;
(2)求证:DE是⊙O1的切线;
(3)如果OE=EC,请判断四边形O1OED是什么四边形,并证明你的结论.
C
D
E
AB
O1O
考点一:与圆相关概念的应用
利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容,在复习中准确理解与圆有关的概念,注意分清它
(圆心角,圆周角),弦,弦心距,弧之间的关系进行解题
【例1】已知:如图所示,在△ABO中,∠AOB=90°,∠B=25°,以O为圆心,OA长
为半径的圆交AB于D,求弧AD的度数.
【例2】如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠AOC=100°,则∠ABC的度数为().
°°°°
,直线与圆、圆与圆的位置关系【例3】已知⊙O的半径为3cm,A为线段OM的中点,当OA满足:
(1)当OA=1cm时,点M与⊙O的位置关系是.
(2)当OA=,点M与⊙O的位置关系是.
(3)当OA=3cm时,点M与⊙O的位置关系是.
【例4】⊙O的半径为4,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是().

【例5】两圆的半径分别为3cm和4cm,圆心距为2cm,那么两圆的位置关系是______________.
【例6】已知正六边形的周长为72cm,求正六边形的半径,边心距和面积.
:.
【例7】如图,矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB为直径的半圆O与DC相切于
点E,则阴影部分的面积为(结果保留).
【例8】已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是
.
考点二:圆中计算与证明的常见类型
:直径、平分、过圆心,它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等,从而可以应用相关定理完成其论证或计算.【例1】在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点P,夹角为30°,且分直径为1∶5两部分,AB=6,则弦CD
的长为.

“直径所对的圆周角是直角”解题“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理,在解与圆有关的问题时,常常添加辅助线构成直径所对的圆周角,以便利用上面的定理.【例2】如图,在⊙O的内接△ABC中,CD是AB边上的高,求证:∠ACD=∠OCB.
,这是圆内接四边形的重要性质,也揭示了确定四点共圆的方法.
【例3】如图,四边形ABCD为圆内接四边形,E为DA延长线上一点,若∠C=45°,
AB=2,则点B到AE的距离为________.
:
(1)与圆有惟一公共点的直线是圆的切线;
(2)若圆心到一条直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线;(3)经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【例4】如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC=43,D是线段BC的中点.
(1)试判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)过点D作DE⊥AC,垂足为点E,求证:直线DE是⊙:.
【例5】如图,已知O为正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OA的长为半径的⊙O与BC相切于
M,与AB、AD分别相交于E、F,求证CD与⊙O相切.
【例6】如图,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为劣弧上一动点,P在CB的延长线上,
且有∠BAP=∠:AP是半圆O的切线.
【课堂巩固练习】
:
1.⊙O的半径为R,点P到圆心O的距离为d,并且d≥R,则P点 [ ]
⊙⊙O外
⊙O外或圆周上
,最小距离为1,则圆的半径为[ ]
A、2或3B、3C、4D、2或4
,⊙O中,ABDC是圆内接四边形,∠BOC=110°,则∠BDC的度数是[ ]
° ° ° °
⊙O中,弦AB垂直并且平分一条半径,则劣弧AB的度数等于[ ]
° ° ° °:.
     
⊙O的半径,则直线a与⊙O的位置关系是[ ]
A、相离 B、相切 C、相切或相交 D、相交
6、如图,PA切⊙O于A,PC交⊙O于点B、CA
,若PA=5,PB=BC,则PC的长是[ ]
O
A、10 B、5 C、52D、53P
,某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地BC
面上,则雕塑的最高点到地面的距离为[ ]
23332232
.
2222
8、已知两圆的圆心距是9,两圆的半径是方程2x2-17x+35=0的两根,
则两圆有[ ]条切线。
A、1条B、2条C、3条D、4条
9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20cm,则梯形的腰长为[ ]
A、10cmB、12cmC、14cmD、16cm
10、如图,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,且AO1、AO2分别是两圆的切线,A是切点,若⊙O1的半径
r=3,⊙O2的半径R=4,则公共弦AB的长为[ ]
A、2B、、3D、
11、水平放置的排水管(圆柱体)截面半径是1cm,水面宽也是1cm,则截面有水
部分(弓形)的面积是[ ]
A、B、C、D、或
:
°,则此圆的直径为。
⊙O中,AB是直径,弦CD与AB相交于点E,若,则CE=DE(只需填一个适合的条件)。
,∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶1,则∠D=。
,那么这个三角形是。
,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于E点,AB=120°,CD=70°则∠AEB=。
,两个圆的圆心距为7cm,则这两个
圆的外公切线长为。
,⊙O中,弦AB⊥弦CD于E,OF⊥AB于F,OG⊥CD于G,若:.
      
AE=8cm,EB=4cm,则OG=cm。

,底面半径为3厘米,则它的侧面积为。

△ABC中,∠C=90°,点O为AB上一点,以O为圆心的半圆切AC于E,交AB于
D,AC=12,BC=9,求AD的长。
C
E
A
DOB
⊙O中,C为ACB的中点,CD为直径,弦AB交CD于点P,又PE⊥CB于E,若BC=10,且
CE∶EB=3∶2,求AB的长.


:如图,A是以EF为直径的半圆上的一点,作AG⊥EF交EF于G,又B为AG上一点,EB的延长
线交半圆于点K,
求证:AE2EBEK

:如图,△ABC内接于⊙O,AE是⊙O的直径,CD是△ABC中AB边上的高,:.
求证:AC·BC=AE·CD