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x0时,y随x的增大而增大;x0时,
上加下减。
a0向上0,cy轴y随x的增大而减小;x0时,y有最小
axh2的性质:左加右减。
x0时,y随x的增大而减小;x0时,
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
a0向下0,cy轴y随x的增大而增大;x0时,y有最大
xh时,y随x的增大而增大;xh时,
值c.
a0向上h,0X=hy随x的增大而减小;xh时,y有最小
二次函数知识点值0.
xh时,y随x的增大而减小;xh时,
一、二次函数概念:a0向下h,0X=hy随x的增大而增大;xh时,y有最大
值0.
:一般地,形如yax2bxc(a,,bc是常数,a0)的函数,叫做二
axh2k的性质:
次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a0,而b,c可以为
.
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
ax2bxc的结构特征:xh时,y随x的增大而增大;xh时,
a0向上h,kX=hy随x的增大而减小;xh时,y有最小
⑴等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
值k.
的符号开口方向顶点坐标对称轴性质
axh时,y随x的增大而减小;xh时,
时,随的增大而增大;时,
x0yxx0a0向下h,kX=hy随x的增大而增大;xh时,y有最大
0,0
a0向上y轴y随x的增大而减小;x0时,y有最小值k.
值0.
x0时,y随x的增大而减小;x0时,三、二次函数图象的平移
0,0
a0向下y轴y随x的增大而增大;x0时,:
值0.
方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2k,确定其顶点坐标h,k;
⑵a,,bc是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.
⑵保持抛物线yax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:
二、二次函数的基本形式
:yax2的性质:
a的绝对值越大,抛物线的开口越小。
的五点为:顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴
【【(k>0)【【【【(k<0)【【【|k|【【【
y=ax2y=ax2+k
的交点x1,0,x2,0(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
【【(h>0)【【【(h<0)【
【【(h>0)【【【(h<0)【
【【(h>0)【【【(h<0)【【【|k|【【【
【【|k|【【【
【【|k|【【【2
【【(k>0)【【【(k<0)【六、二次函数yaxbxc的性质
【【|k|【【【
bb4acb2
y=a(x-h)2y=a(x-h)2+0时,抛物线开口向上,对称轴为x,顶点坐标为,.
【【(k>0)【【【(k<0)【【【|k|【【【2a2a4a
bb
当x时,y随x的增大而减小;当x时,y随x的增大而增大;当
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.b4acb2
x时,y有最小值.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.2a4a
方法二:
bb4acb2
0时,抛物线开口向下,对称轴为x,顶点坐标为,.当
⑴yaxbxc沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,yaxbxc变成2a2a4a
bbb
yax2bxcm(或yax2bxcm)x时,y随x的增大而增大;当x时,y随x的增大而减小;当x时,y有
2a2a2a
2
224acb
⑵yaxbxc沿轴平移:向左(右)平移m个单位,yaxbxc变成最大值.
4a
七、二次函数解析式的表示方法
ya(xm)2b(xm)c(或ya(xm)2b(xm)c)
:yax2bxc(a,b,c为常数,a0);
2
:ya(xh)k(a,h,k为常数,a0);
四、二次函数yaxhk与yax2bxc的比较
:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
22注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成
从解析式上看,yaxhk与yaxbxc是两种不同的表达形式,后者通过配方
交点式,只有抛物线与x轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式
.
b4acb2b4acb2
可以得到前者,即yax,其中h,k.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
2a4a2a4a
五、二次函数yax2bxc图象的画法二次函数yax2bxc中,a作为二次项系数,显然a0.
五点绘图法:利用配方法将二次函数yax2bxc化为顶点式ya(xh)2k,确定其⑴当a0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大;
开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,⑵当a0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定
,常选用顶点式.
在二次项系数a确定的前提下,、二次函数图象的对称
⑴在a0的前提下,二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
当b0时,0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;
2a
yax2bxc关于x轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2a
yaxh2k关于x轴对称后,得到的解析式是yaxh2k;
b
当b0时,0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.
⑵在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即
yax2bxc关于y轴对称后,得到的解析式是yax2bxc;
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴在y轴右侧;
2a
yaxh2k关于y轴对称后,得到的解析式是yaxh2k;
b
当b0时,0,即抛物线的对称轴就是y轴;
b
当b0时,0,ax2bxc关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc;
2a
总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
yaxh2k关于原点对称后,得到的解析式是yaxh2k;
b
ab的符号的判定:对称轴x在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则ab0,概
(即:抛物线绕顶点旋转180°)
括的说就是“左同右异”b2
yax2bxc关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxc;
总结:2a
yaxh2k关于顶点对称后,得到的解析式是yaxh2k.
⑴当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;
⑵当c0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0;
m,n对称
⑶当c0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.
总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.
yaxh2k关于点m,n对称后,得到的解析式是yaxh2m22nk
总之,只要a,,bc都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形
析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,,有如下几种情况:式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对
,一般选用一般式;称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
(小)值,一般选用顶点式;
,一般选用两根式;十、二次函数与一元二次方程:
二次函数;下面以a0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联
0抛物线与x轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根
系:
两个交点可零、可负
0抛物线与x轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根图像参考:
有一个交点
2
=2x
交点y=x2
(二次函数与x轴交点情况):
一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.
x2
y=
图象与x轴的交点个数:2
2
①当b4ac0时,图象与x轴交于两点Ax1,0,,Bx20(x1x2),其中的
x2
y=-
2
2
x1,x2是一元二次方程axbxc0a0
y=-x2
b24ac
ABxx.y=-2x2
21a
②当0时,图象与x轴只有一个交点;
y=2x2+2
③当0时,图象与x轴没有交点.
2
1'当a0时,图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有y0;y=2x
y=2x2y=2(x-4)2
2'当a0时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y0.
y=2x2-4
2
axbxc的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);y=2(x-4)2-3
:
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a,b,c的符号,或由二次函数中a,
b,c的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已
知与x轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的
y=3(x+4)2
y=3x2
y=3(x-2)2
y=-2(x+3)2
2
y=-2x2y=-2(x-3)
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