高中三角函数常考知识点及练习题.docx

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:
(1)弧长公式:laRR为圆弧的半径,a为圆心角弧度数,l为弧长。
(2)扇形的面积公式:S1lRR为圆弧的半径,l为弧长。
2
(3)三角函数(6个)表示:a为随意角,角a的终边上随意点P的坐标为(x,y),它与原点的距离为r(r>0)那么角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余
割分别是:
sinay,cosax,tanay,cotax,secar,cscar.
rrxyxy
(4)同角三角函数关系式:
①倒数关系:tanacota1②商数关系:tanasina,cotacosa
cosasina
③平方关系:sin2acos2a1
5)引诱公式:(奇变偶不变,符号看象限)k·/2+a所谓奇偶指的是整数k的奇偶性
函数
两角和与差的三角函数:(1)两角和与差公式:
tana(a
tanatan
)
1tanatan

注:公式的逆用或许变形
.........
(2)二倍角公式:
tan2a
2tana
从二倍角的余弦公式里面可得出
tan2a
1
降幂公式:cos2a
1
cos2a
,
sin2a
1cos2a
2
2
(3)半角公式(可由降幂公式推导出)
:
sina
1cosa,cosa
1cosa
,tana
1
cosa
sina
1cosa
2
2
2
2
2
1
cosa1
cosa
sina
三角函数的图像和性质:(此中kz)
三角函数
定义域(-∞,+∞)
值域[-1,1]
最小正周期
奇偶性奇
单一性单一递加

(-∞,+∞)
[-1,1]
偶
单一递加

(-∞,+∞)
奇
单一递加
单一递减

单一递减
对称性
零值点
最值点

x2k

,

无
ymax

1;
x(2k1),
函数yAsin(x)的图像与性质:
(本节知识观察一般能化成形如yAsin(x)图像及性质)
(1)函数yAsin(x
)和yAcos(x
2
)的周期都是T
(2)函数yAtan(x)和yAcot(x)的周期都是T
(3)五点法作yAsin(x
)的简图,设t
x,取0、
、
、3
、2
来求相
2
2
应x的值以及对应的y值再描点作图。
4)对于平移伸缩变换可详细参照函数平移伸缩变换,倡导先平移后伸缩。牢记每
一个变换老是对字母x而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角
变化”多少。(附上函数平移伸缩变换):
函数的平移变换:
①yf(x)yf(xa)(a0)将yf(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位
(左加右减)
②yf(x)yf(x)b(b0)将yf(x)图像沿y轴向上(下)平移b个单位
(上加下减)
函数的伸缩变换:
①
y
f(x)
y
f(wx)(w0)
将y
f(x)图像纵坐标不变,横坐标缩到本来的
1
w
倍(
w
1
缩短,
0
伸长)
w1
②
y
f(x)
y
Af(x)(A0)
将y
f(x)图像横坐标不变,纵坐标伸长到本来的
A倍(A
1伸长,0
A1缩短)
函数的对称变换:
①
y
f(x)
y
f(x))将y
f(x)图像绕y轴翻折180°(整体翻折)
(对三角函数来说:图像对于x轴对称)
②yf(x)yf(x)将yf(x)图像绕x轴翻折180°(整体翻折)
(对三角函数来说:图像对于y轴对称)
③yf(x)yf(x)将yf(x)图像在y轴右边保存,并把右边图像绕y轴翻
折到左边(偶函数局部翻折)
④yf(x)yf(x)保存yf(x)在x轴上方图像,x轴下方图像绕x轴翻折上
去(局部翻动)
三角变换:
三角变换是运算化简过程中运用许多的变换,提升三角变换能力,要学会创建条件,灵巧运用三角公式,掌握运算、化简的方法技术。
(1)角的变换:角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换,还可作添
加、删除角的恒等变形
(2)函数名称变换:三角变形中经常需要变函数名称为同名函数。采纳公式:
asin
bcos
a2
b2sin(
)此中cos
a
,sin
a2
b
a2
b2
b2
(3)常数代换:在三角函数运算、求值、证明中有时需将常数转变成三角函
数,特别是常数“1”。
(4)幂的变换:对次数较高的三角函数式一般采纳降幂办理,有时需要升幂例
如:1cosa常用升幂化为有理式。
(5)公式变形:三角公式是变换的依照,应娴熟掌握三角公式的顺用、逆用及
变形。
(6)构造变化:在三角变换中经常对条件、结论的构造进行调整,或从头分组,
或移项,或变乘为除,或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。
(7)消元法:假如所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量,可用此法
(8)思路变换:假如一种思路没法再走下去,试着改变自己的思路,经过剖析
比较去选择更适合、简捷的方法去解题目。
(9)利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子:

sina

cosa

,

sinacosa
sinacosa,已知此中一个式子的值,其他二式均可求出,且必需时能够换元。
函数的最值(几种常有的函数及其最值的求法):
yasinxb(或acosxb)型:利用三角函数的值域,须注意对字母的议论
②y
asinx
bcosx型:引进协助角化成y
a2
b2sin(x
)再利用有界性
③y
asin2x
bsinxc型:配方后求二次函数的最值,应注意
的拘束
sinx1
④y
asinx
b型:反解出sinx,化归为sinx
1
解决
csinx
d
⑥y
a(sinx
cosx)bsinxcosxc型:常用到换元法:t
sinx
cosx,但须注意
t的取值范围:t
2。
(3)三角形中常用的关系:
sinAsin(BC),cosAcos(BC),sinAcosBC,
22
sin2Asin2(BC),cos2Acos2(BC)
练习题:
1.(08全国一6)y(sinxcosx)21是()



2.
(08全国一9)为获得函数y
cos
x
π的图象,只要将函数y
sinx的图像(
)
3


6
6


6
6
3.(08全国二1)若sin
0且tan
0是,则是(
)




4.
(08全国二10).函数f(x)sinx
cosx的最大值为(
).
2
C.
3

5.
(08安徽卷8)函数y
sin(2x
)图像的对称轴方程可能是(
)
3


12


6
6
12
6.
(08福建卷7)函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移
个单位后,获得函数
y=g(x)
2
的图象,则g(x)的分析式为(
)A.-sinx

C.-cosx

7.
(08广东卷5)已知函数f(x)
(1
cos2x)sin2x,x
R,则f(x)是(
)
A、最小正周期为
的奇函数
B
、最小正周期为
的奇函数
2
C、最小正周期为
的偶函数
D
、最小正周期为
的偶函数
2
8.
(08海南卷11)函数f(x)cos2x
2sinx的最小值和最大值分别为(
)
A.-3,1
B.-2,2
C.-3,3
D.-2,3
2
2
9.
(08湖北卷7)将函数ysin(x
)的图象F向右平移
个单位长度获得图象F′,
3
若′的一条对称轴是直线
x
,则的一个可能取值是(
)
F
5
5
1
11
11
A.
B.
C.
D.
12
12
12
12
sinx
10.
(08江西卷6)函数f(x)
是()
sinx
2sinx
2

为周期的偶函数
B
.以2
为周期的奇函数

为周期的偶函数
D
.以4
为周期的奇函数
11.
若动直线x
a与函数f(x)
sinx和g(x)
cosx的图像分别交于M,N两点,则MN
的最大值为(
)
B.
2


12.
(08山东卷10)已知cos
π
sin
4
7π的值是(
)
6
3,则sin
5
6




5
5
5
5
13.
(08陕西卷1)sin330
等于(
)A.
3
.
1
.1

2
B
2
C
2
2
14.
(08四川卷4)tanx
cotxcos2x
()




15.
(08天津卷
6)把函数y
sinx(x
R)的图象上全部的点向左平行挪动
3
个单位长
度,再把所得图象上全部点的横坐标缩短到本来的
1倍(纵坐标不变),获得的图象
2
所表示的函数是(
)
sin
2x
,x
R

x
6
,xR
3
2
C.
sin2
,
.
,
y
x
x
R
D
y
sin2x
3
x
R
3
16.
(08天津卷9)设asin5
,b
cos2
,c
tan2
,则(
)
7
7
7




17.
(08浙江卷2)函数y
(sinx
cosx)21
的最小正周期是(
)
A.
B.
C.
3
D.
2
2
2
cos(x
3)(x
18.
(08
浙江卷
7)在同一平面直角坐标系中,函数
y
[0,2
])的图象
1的交点个数是(
2
2
和直线y
)



2
19.
(08北京卷9)若角
的终边经过点P(1,2)
,则tan2
的值为
.
20.(08江苏卷1)fx
cosx
的最小正周期为
,此中
0,则=
.
6
5
21.(08
辽宁卷16)设x
0,
,则函数y
2sin2x
1的最小值为
.
2
sin2x
22.(08
浙江卷12)若sin(
)
3,则cos2
_________。
5
(08上海卷6)函数f(x)=3sinx+sin(2+x)的最大值是
24.
(08四川卷17)求函数y
74sinxcosx
4cos2
x4cos4
x的最大值与最小值。
25.
(08北京卷15)已知函数f(x)sin2
x
3sin
xsin
x
π(
0)的最小正
2
周期为π.(Ⅰ)求
的值;(Ⅱ)求函数f(x)在区间
2π
上的取值范围.
0,
3
26.
(08天津卷17)已知函数f(x)2cos2
x
2sin
xcos
x
1(x
R,0)的最小
值正周期是
.(Ⅰ)求
的值;
2
(Ⅱ)求函数f(x)的最大值,而且求使f(x)获得最大值的x的会合.
27.
(08安徽卷17)已知函数f(x)cos(2x
)2sin(x
)sin(x
)
3
4
4
(Ⅰ)求函数
f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程
(Ⅱ)求函数
f(x)在区间[
,
]上的值域
12
2
28.
(08陕西卷17)已知函数f(x)2sinxcosx2
3sin2x
3.
4
4
4
(Ⅰ)求函数
f(x)的最小正周期及最值;
(Ⅱ)令g(x)
fx
π,判断函数g(x)的奇偶性,并说明原因.
3
练习题参照答案:


19.
4

21.
3
22.
7

3
25
24.
解:y
7
4sinxcosx
4cos2x
4cos4x
因为函数z
u
2
在
11,中的最大值为
16
最小值为
故当sin2x1时y获得最大值10,当sin2x1时y获得最小值6
【评论】:本题要点观察三角函数基本公式的变形,配方法,切合函数的值域及最值;
【打破】:利用倍角公式降幂,利用配方变成复合函数,重视复合函数中间变量的范围是要点;
25.
1
cos2
x
3
3
1
1
解:(Ⅰ)f(x)
2
sin2xsin2x
cos2
x
2
2
2
2
sin2x
π
1.
6
2
因为函数
f(x)
的最小正周期为
,且
0,
π
所以
2ππ
1.
2
,解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
f(x)
sin
2x
π
1.
6
2
因为
0≤x≤2π,
3
所以
π≤2x
π≤7π,
6
6
6
所以
1≤sin
2x
π≤1,
2
6
π
1
≤
3
,即f(x)的取值范围为
3
.
所以0≤sin2x
2
2
0,
6
2
解:
由题设,函数
fx
的最小正周期是
2
,可得2
,所以2.
2
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,fx
2sin
4x
2.
4
当4x
2k
,即x
k
k
Z时,sin4x
获得最大值1,所以函数fx
2
16
2
4
4
的最大值是2
2
,此时x的会合为
x|x
k
Z
,k
16
2
:(1)Qf(x)
cos(2x
)
2sin(x
)sin(x
)
3
4
4
(2)Qx[
,],2x
6
[
,5]
12
2
3
6
因为f(x)
sin(2x
)在区间[
,
]上单一递加,在区间[,
]上单一递减,
6
12
3
3
2
所以
当x
3
时,f(x)取最大值1
又Q
f(
)
3
f(
)
1,∴当x
12
时,f(x)取最小值
3
12
2
2
2
2
所以函数
f(x)在区间[
,
]上的值域为[
3,1]
12
2
2
:(Ⅰ)Qf(x)
sinx
3cosx
2sin
x
π.
2
2
2
3
f(x)的最小正周期T
2π4π.
1
2
当sin
x
π
1时,f(x)获得最小值
2;当sin
x
π
1
时,f(x)
获得最大值2.
3
3
2
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
f(x)
x
π
.又g(x)
f
x
π
.
2sin
3
3
2
g(x)
2sin
1x
π
π
2sin
x
π
2cosx.
2
3
3
2
2
2
Qg(
x)
2cos
x
2cosx
g(x).
2
2
函数g(x)是偶函数.