正弦定理、余弦定理总结和应用.doc

该【正弦定理、余弦定理总结和应用 】是由【文艺人生】上传分享，文档一共【27】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【正弦定理、余弦定理总结和应用 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。正弦定理、余弦定理总结和应用
高中数学安徽铜陵姚老师:**********
2
§ 正弦定理、余弦定理及其应用
、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、,或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题,且多以应用题的形式出现.

(1)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,.
(2)正弦定理的其他形式:
①a=2RsinA,b=,c=;
②sinA=,sinB=,
sinC=;
③a∶b∶c=______________________.

高中数学安徽铜陵姚老师:**********
20
高中数学安徽铜陵姚老师:**********
4
(1)余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两
①
②
③
④
高中数学安徽铜陵姚老师:**********
6
解的个数
(3)已知三边,,只有一解.
(4)已知两边及夹角,用____________定理,必有一解.

(1)三角形面积公式S△===____________=____________=,r分别为三角形外接圆、内切圆半径.
(2)A+B+C=π,则A=__________,
=__________,从而sinA=____________,
cosA=____________,tanA=____________;
sin=__________,cos=__________,
tan=+tanB+tanC=__________.
(3)若三角形三边a,b,c成等差数列,则2b=____________⇔2sinB=____________⇔2sin=cos⇔2cos=cos⇔tantan=.
【自查自纠】
1.(1)===2R
(2)①2RsinB 2RsinC ②
高中数学安徽铜陵姚老师:**********
6

③sinA∶sinB∶sinC
2.(1)b2+c2-2bccosA c2+a2-2cacosB
a2+b2-2abcosC a2+b2
(2) > <
(3)互化 sin2C+sin2A-2sinCsinAcosB
sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC
3.(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解
①一解 ②二解 ③一解 ④一解
(3)余弦 (4)余弦
4.(1)absinC bcsinA acsinB (a+b+c)r
(2)π-(B+C) -
sin(B+C) -cos(B+C)
-tan(B+C) cos sin
tanAtanBtanC (3)a+c sinA+sinC
在△ABC中,A>B是sinA>sinB的( )




解:因为在同一三角形中,角大则边大,边大则正弦大,反之也成立,故是充要条件.
高中数学安徽铜陵姚老师:**********
8
故选C.
在△ABC中,已知b=6,c=10,B=30°,则解此三角形的结果有( )


解:由正弦定理知sinC==,又由c>b>csinB知,,画出△ABC,.
()设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为( )


解:由已知和正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinA·sinA,即sin(B+C)=sinAsinA,亦即sinA=<A<π,所以sinA=1,所以A=..
()在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,=2,B=,c=2,则b=________.
解:由余弦定理知b2=a2+c2-2accosB=22+2-2
高中数学安徽铜陵姚老师:**********
8
×2×2×cos=4,b=.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为________.
解:∵sinB+cosB=,
∴sin=,即sin=1.
又∵B∈(0,π),∴B+=,B=.
根据正弦定理=,可得sinA==.
∵a<b,∴A<B.∴A=.故填.
类型一 正弦定理的应用
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A-C=90°,a+c=b,求C.
解:由a+c=b及正弦定理可得sinA+sinC=sinB.
又由于A-C=90°,B=180°-(A+C),故cosC+sinC=sinA+sinC=sin(A+C)=sin(90°+2C)=sin2(45°+C).
∴sin(45°+C)=2sin(45°+C)cos(45°+C),
即cos(45°+C)=.
高中数学安徽铜陵姚老师:**********
9
又∵0°<C<90°,∴45°+C=60°,C=15°.
【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系,这是解此题的关键.
()在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,=,bsin-csin=a.
(1)求证:B-C=;
(2)若a=,求△ABC的面积.
解:(1)证明:对bsin-csin=a应用正弦定理得sinBsin-sinCsin=sinA,
即sinB-sinC=,整理得sinBcosC-sinCcosB=1,即sin=1.
由于B,C∈,∴B-C=.
(2)∵B+C=π-A=,又由(1)知B-C=,
∴B=,C=.
∵a=,A=,∴由正弦定理知b==2sin,c==2sin.
∴S△ABC=bcsinA=×2si
高中数学安徽铜陵姚老师:**********
11
n×2sin×
=sinsin=cossin=sin=.
类型二 余弦定理的应用
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.
(1)求B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
解:(1)由余弦定理知,cosB=,cosC=,将上式代入=-得
·=-,
整理得a2+c2-b2=-ac.
∴cosB===-.
∵B为三角形的内角,∴B=π.
(2)将b=,a+c=4,B=π代入b2=a2+c2-2accosB,得13=42-2ac-2accosπ,解得ac=3.
∴S△ABC=acsinB=.
【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.②熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.
高中数学安徽铜陵姚老师:**********
12