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证明初等不等式的函数方法
曲靖市麒麟区高级中学付雪梅邮编:655000
摘要:不等式在中学数学中占着很重要的位子。内容极其丰富,特别是不等式的证明,是最富创造性的数学问题类型之一。本论文结合高等数学函数部分的知识,利用函数的相关性质,介绍了几种证明不等式的方法。
关键词:不等式; 证明; 函数方法
引言
证明是中学数学的一个重要组成部分,也是中学数学的一个难点。中学数学中许多的问题都可以归结为不等式的证明。所以对于不等式的证明,是中学数学学习的重点。另外函数的应用渗透到数学的各个方面,利用函数的性质对证明一些不等式有着指导性的作用。
证明不等式通常是指证明所给的不等式,对于式中所含的变数的所有容许值恒能成立。由于复数不等比较大小,所以不等式的证明都限于实数范围内进行。
不等式的证明方法是多种多样的。技巧性比较强,如果证明的不等式是A>B
那么常用的方法有以下几种:
利用A>B的等价定义。证明A-B>0 ,(B-A<0)
利用不等式的基本性质。当B>0时,证明;当A>0,证明。
利用不等式的传递性。证明A>C,C>B,其中C是一个代数式。
直接利用已知不等式。
无法直接证明时,利用反证法。
与自然数有关的不等式,用数学归纳法。
这些方法都是证明不等式的基本方法。当学习了函数之后,我们在证明不等式的时候就有了新的思路、新的方法。
函数是数学中重要的概念之一。函数概念是现实世界中事物相互联系、相互制约,运动变化在数量上的反映。本文主要介绍几种利用函数性质来证明不等式的方法。
正文
常见的证明不等式的函数方法
利用函数的单调性证明不等式
若在(a,b)上总有,则在(a,b)上单调增加;若在(a,b)上总有,则在(a,b)上单调减小。
证明当x>1时,2>3-
证明:令,
则
在[1,+∞)上连续,在(1,+∞)[1,+∞)上单调增加。从而当x>1时, ,又,故,即即2>3-
评注:解决这类问题,首先就是要构造辅助函数,求出,判断其在所给区间上的正负号,然后根据单调性来证明。

若函数在区间[a,b]上连续,则在区间[a,b]上有最大值M和最小值m,
则
例2 证明当x>0时,
证明:令(x>0)
易知
由于



故当0<x<1时,;当1<x<+∞,,从而在x=1处有极小值,而,故当时,,单调增加,由知0<x<1时,,当1<x<+∞时, ,从而在x=1处取极小值,而,故,即x>0时, 。
评注:可见,若辅助函数在所讨论的区间上不是单调函数,证明的方法是:欲证当a<x<b时,有,只需证在(a,b)内的极小值;欲证当a<x<b时,有,只需证在a,b)内的极大值。从而完成不等式的证明。
(方程),利用判别式证明不等式
例3 证明对,有
证明:令
则有(分母不等于0)
等价于
当时,该二次方程有解,故其判别式

即
从而
评注: 用这样的方法证明不等式需要对不等式本身加以观察,要对判别式熟练
掌握,才可应用。
(二) 证明不等式的其他函数方法
凸函数定义:
设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点和任意实数
,
总有,则称f为I上的凸函数。反之如
果有,则称f为I上的凹函数。