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分式方程知识点归纳总结
分式方程知识点归纳总结
分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式。
分式与整式最本质的区别:分式的字母必须含有字母,即未知数;分子可含字母可不含字母。
分式有意义的条件:分母不为零,即分母中的代数式的值不能为零。
分式的值为零的条件:分子为零且分母不为零
分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变。
用式子表示其中A、B、C为整式()
注:(1)利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形,不改变分式值的大小,只改变形式。
(2)应用基本性质时,要注意C≠0,以及隐含的B≠0。
(3)注意“都”,分子分母要同时乘以或除以,避免只乘或只除以分子或分母的部分项,或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
:关键先是分解因式
分式的约分定义:利用分式的基本性质,约去分式的分子与分母的公因式,不改变分式的值。
最简分式:分子与分母没有公因式的分式
分式的通分的定义:利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
最简公分母:取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母,它叫做最简公分母。

分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为
注:分子与分母变号时,是指整个分子或分母同时变号,而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。

1)整体代换法:指在解决某些问题时,把一些组合式子视作一个“整体”,并把这个“整体”直接代入另一个式子,从而可避免局部运算的麻烦和困难。
例:已知,则求2)参数法:当出现连比式或连等式时,常用参数法。
例:若,则求
:
1)分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为分母。
2)分式除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
3)分式乘方法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4)分式乘方、乘除混合运算:先算乘方,再算乘除,遇到括号,先算括号内的,不含括号的,按从左到右的顺序运算
5)分式的加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。
异分母的分式相加减,先通分,变为同分母分式,然后再加减
)任何一个不等于零的数的零次幂等于1,即;
2)任何一个不等于零的数的-n次幂(n为正整数),等于这个数的n次幂的倒数,即(
注:分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即
3)科学计数法:把一个数表示为a×10n(1≤∣a∣<10,n为整数)的形式,称为科学计数法。
注:(1)绝对值大于1的数可以表示为a×10n的形式,n为正整数;
(2)绝对值小于1的数可以表示为a×10-n的形式,n为正整数.
(3)表示绝对值大于10的n位整数时,其中10的指数是
(4)表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)
4)正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂.(m,n是整数)
(1)同底数的幂的乘法:;(2)幂的乘方:;(3)积的乘方:;
(4)同底数的幂的除法:(a≠0);(5)商的乘方:();(b≠0)
:含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方程。
1)增根:分式方程的增根必须满足两个条件:
(1)增根是最简公分母为0;(2)增根是分式方程化成的整式方程的根。
2)分式方程的解法:
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;(3)解整式方程;(4)验根.
注:解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。
分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。
3)烈分式方程解实际问题
(1)步骤:审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案,检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。
(2)应用题基本类型;
:基本公式:路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.
:工作量=工时×工效.
=v静水+=v静水-v水.
14植树问题
1非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那:
株数=段数+1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数-1)
株距=全长÷(株数-1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那就这样:
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷株距-1
全长=株距×(株数+1)
株距=全长÷(株数+1)
2封闭线路上的植树问题的数量关系如下:
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
15盈亏问题
(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配的份数
(大亏-小亏)
÷两次分配量之差=参加分配的份数
16相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
17追及问题
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
18流水问题
顺流速度=静水速度+水流速度
逆流速度=静水速度-水流速度
静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2
水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2
19浓度问题
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
20利润与折扣问题
利润=售出价-成本
利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100%
涨跌金额=本金×涨跌百分比
折扣=实际售价÷原售价×100%(折扣<1)
利息=本金×利率×时间
税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)