人教版八年级数学分式知识点及典型例题.docx

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分式的知识点及典型例题解析
1、分式的定义:
例:以下式子中,
15
2
、
9a
、
5ab
、
3a2
b2
、2-
2
、
1
、
5xy
1
、
1
、
x2
1
、
、8a
b
xy
-
23
2xy
4
am
6
x
2
2
3xy、3
、
1
中分式的个数为(
)
(A)2
(B)3
(C)4
(D)
x
a
y
m
5
练习题:(1)以下式子中,是分式的有.
⑴2x7;⑵x
1;⑶5a2
;⑷x2
x2;⑸2
b2
;⑹
xy
y2
.
x5
2
3
a
b
2x2
(2)以下式子,哪些是分式?
a
3
;
y
3
7x
;
xxy
;
1
b
;
x2
;
x2y
4
.
5
4
y8
5
2、分式有,无心义,总有意义:
(1)使分式有意义:令分母≠0按解方程的方法去求解;
(2)使分式无心义:令分母=0按解方程的方法去求解;
注意:(x2
1≠0)
例1:当x
时,分式
x
1
有意义;
例2:分式2x
1中,当x
____时,分式没
5
2
x
有意义
例3:当x
时,分式
1
1有意义。
例4:当x
时,分式
x
有
x2
x2
1
意义
例5:x,y满足关系
时,分式x
y无心义;
x
y
例6:不论x取什么数时,老是有意义的分式是(
)
A.
22x
B.
x
C.
33x
1

25
x
1
2x
1
x
x
例7:使分式
x
有意义的x
的取值范围为(
x
2
x
2
x2
x
2
x2
)A.
B.
C.
D.
例8:若是分式
x
2
没有意义,则x的值为(
)
B.-1或-3
C.-1

1)(x
(x
3)
1
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同步练习题:
3、分式的值为零:
使分式值为零:令分子=0且分母≠0,注意:当分子等于
0使,看看能否使分母=0了,假如
使分母=0了,那么要舍去。
例1:当x
时,分式1
2a的值为0
例2:当x
时,分式x2
1的
a
1
x
1
值为0
例3:假如分式
a
2
)
A.
2


a
的值为为零,则a的值为(
2
上全不对
例4:能使分式x2
x的值为零的所有x的值是(
)
x2
1
Ax0
B
x1
Cx0或x1
Dx
0或x
1
例5:要使分式
x2
9
的值为0,则x的值为(
)-3

C.-3
x2
5x
6
D2
例6:若a
1
0
则
a
是
(
)A.
正数
负数
C.
零
D.
任意有理数
a
,
B.
4、分式的基天性质的应用:
分式的基天性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于
0的整式,分式的值不变。
A
A
C
C
0
A
AC
B
B
C
B
BC
例1:xy
;
6x(y
z)
;假如5(3a
1)
5成立,则a的取值范围是________;
aaby
3(y
z)2
yz
7(3a
1)
7
例2:ab2
(
1
)
bc
(
b
c
a3b3
a
)
例3:假如把分式a
2b中的a和b都扩大10倍,那么分式的值(
)
a
b
A、扩大10倍
B
、减小10倍C
、是本来的20倍D
、不变
例4:假如把分式10x
中的x,y都扩大10倍,则分式的值(
)
x
y
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2
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B
.扩大10倍

.减小到本来的1
10
例5:假如把分式
xy
中的x和y都扩大2倍,即分式的值(
)
x
y
A、扩大2倍;
B、扩大4倍;
C、不变;
D减小2倍
例6:假如把分式x
y中的x和y都扩大2倍,即分式的值(
)
x
y
A、扩大2倍;
B、扩大4倍;
C、不变;
D减小2倍
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例7:假如把分式xy中的x和y都扩大2倍,即分式的值(
)
xy
A、扩大2倍;
B、扩大4倍;
C、不变;
D减小1倍
例8:若把分式x3y的x、y同时减小12倍,则分式的值(
2
)
2x



例9:若x、y的值均扩大为本来的2倍,则以下分式的值保持不变的是(
)
A、3x
B
、3x
C
、3x2
D、3x3
2y
2y2
2y
2y2
例10:依据分式的基天性质,分式
a
可变形为(
)
a
a
ab
a
a
A
B
C
a
b
b
D
a
b
a
ab
例11:不改变分式的值,使分式的分子、分母中各项系数都为整数,

x

例12:不改变分式的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,
1
x
=
x
x
2
1
5、分式的约分及最简分式:
①约分的看法:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分
②分式约分的依照:分式的基天性质.
③分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式,而后约去分子与分母的公因式.
④约分的结果:最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式)
约分主要分为两类:第一类:分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。
第二类:分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去。

;
。
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例1:以下式子(1)x2
y
2
1
;(2)ba
a
b;(3)ba
1;(4)xyxy
x
y
xy
caa
c
ab
xyxy
中正确的选项是(
)A
、1个
B、2个
C、3个
D、4个
例2:以下约分正确的选项是(
)
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3
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A、x6x3;
B、x
y
0;
C、
x
y
1;
D、2xy2
1
x2
xy
x
2
xyx
4x2y2
例3:以下式子正确的选项是(
)
A2xy
0
B.
ay
1
C.
yzyz

0
2xy
ay
xx
x
a
a
a
例4:以下运算正确的选项是(
)
A、
a
a
B、24
1
C、a2
a
D、1
11
ab
ab
xx2
b2
b
2mmm
例5:以下式子正确的选项是(
)

b2
B
.a
b
0
C
.
ab
1
D
.

a3b
aa2
ab
ab

2ab
例6:化简m2
3m
的结果是(
)A、m
B、
m
C、m
D、m
9m2
m3
m3
m3
3m
1
1
4x2y
3x
;3xy2
1
5x
3
y
3x5y
例
7:约分:6xy2
;x2
9=
xy;

y
。
例8:约分:
a2
4
=
;
4xy
;a(a
b)
;
x
y
a2
4a
4
16x2y
b(a
b)
(x
y)2
axay
;
x2
16
;
x2
9
14a2bc3
___________
2
y
2
2
8x16
2x
6
3
x
x
21abc
9
m2
5ab
__________
x2
9
__________。
m
__________
2
b
2
6x
9
3
20a
x
9:分式
a2
a
b
4a
1
中,最简分式有(
)
例
a2
3,a2
b2
,12(a
b),x
2

.2个C
.3个

6、分式的乘,除,乘方:
分式的乘法:乘法法测:
a·c=ac.
b
d
bd
分式的除法:除法法规:
a÷c=a·d=ad
b
d
b
cbc
a)
分式的乘方:求
n
个同样分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是
(
b
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4
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a
n
an
方,是把分子、分母各自乘方
.用式子表示为:
(
b
)=
bn
(n
为正整数)
例题:
计算:(1)26x2
25x4
(2)16x3y4
56x4
(3)a
a
1
15x6
39y7
125a10
100a13
a
计算:(4)
ab
a2b2
a4
(5)
x2x2
25
(6)
a2
1
a1
a
2
ab
aba
2
x5x
2
4
2
4a4a2
a
计算:(7)
6x
2
y
2
4x
()
6ab
3b2
()
xy
2
xy
3y
3
8
2a
9
x
x
y
计算:(10
)
2x25y10y
(11
)
x2
1
(1
x)
x3
(12
)
3y2
6x
21x2
x2
6x9
x2
x
a2
1
a
1
a
2
a2
4a4
a
1
计算:(13)a
1
a2
4
1
1
(14)
2a
6
a
3
3
a
a2
a2
2a1a2
44aa2
a2
a6
求值题:(1)已知:x
3,求
x2
x2
y2
xy
y2
的值。
y
4
2xyy2
x2
xy
(2)已知:
x
9y
y
3x
,求
x2
y2
的值。
x2
y2
(3)已知:1
1
3,求2x
3xy
2y的值。
x
y
x
2xy
y
例题:
2y2
2a
5
3y3
3
计算:(1)
)
3
()
=
(3)
=
(
3x
2
b
2x2
b
2
3
a
2
b2
3
计算:(4)
=
(5)
ab4
2a2
b
a
(6)a
a2
2
2
a
a
a
1
a2
1
1
a
1
求值题:(1)已知:
x
y
z
求
xy
yz
xz
的值。
2
3
4
x
2
y
2
z
2
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5
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(2)已知:x2
10x
25
y30求x2
x
的值。
2xy
2y
例题:计算(x2
y)
x2
y
x
的结果是(
)A
x2
y
Bx2
yC
1
D
x
x2
y
x2
y
1
1y
例题:化简x
x
1的结果是(
)A.
1

C.
y
D.
y
x
x
x
y
计算:(1)
2x3
8x
x2
;(2)
x2
2x122x
2
·
2a2
÷
a1
x2
4x4
2x4
x2
1
x1
(3)(a
-1)
2
a
2a12a2
7、分式的通分及最简公分母:
通分:主要分为两类:第一类:分母是单项式;第二类:分母是多项式(要先把分母因式分
解)
分为三各种类:“二、三”型;“二、四”型;“四、六”型等三各种类。
“二、三”型:指几个分母之间没有关系,最简公分母就是它们的乘积。
比方:
2
x
最简公分母就是x2x2
。
x2
x2
“二、四”型:指其一个分母完整包含另一个分母,最简公分母就是其一的那个分母。
比方:
2
x
最简公分母就是x2
4x2x2
x
2
x2
4
“四、六”型:指几个分母之间有同样的因式,同时也有独到的因式,最简公分母要有独到
的;同样的都要有。
比方:
x
2
最简公分母是:2xx2
2x2
xx2
这些种类自己要在做题过程中认真地去认识和应用,认真的去发现之间的差异与联系。
例1:分式
1
,
1
,
2
的最简公分母是(
)
m
2
n
2
n
nm
m
A.(
)(
2
n
2)
B
.
(m
2
2
)
2
C
.
2
(mn)D
.
m
2
n
2
mnm
n
(mn)
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6
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例2:对分式y
,x2
,1
通分时,最简公分母是(
)
2x
3y
4xy

x2y3

x2
y
2

2

2
例3:下边各分式:x2
1,
x
y
,
x1,x2
y2,此中最简分式有(
)个。
x2
xx2
y2
x1x2
y2




例4:分式
1
,
a
的最简公分母是
.
2
4
a
2a
4
例5:分式a与1的最简公分母为________________;b
例6:分式
1
y2,x2
1
的最简公分母为
。
x2
xy
8、分式的加减:
分式加减主体分为:同分母和异分母分式加减。
1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。
2、异分母分式要先通分,在变为同分母分式就可以了。
通分方法:先观察分母是单项式还是多项式,假如是单项式那就连续考虑是什么种类,找出最简公分母,进行通分;假如是多项式,那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么种类,连续通分。
分类:第一类:是分式之间的加减,第二类:是整式与分式的加减。
例1:22n=
例2:2a2
3a2
4=
m
m
a2
1a2
1
例3:
y
x
=
例4:x2y
y2
y
2x
y2
=
xyyx
x2
y2
x2
x2
计算:(1)
4
m1
(2)
a
b
(3)
a2
b2
m3m3
abba
(ab)2
(ba)2
(4)5a2b3-3a2b5
-8a2b.
ab2
ab2
ab2
例5:化简1
+1
+1等于(
1
3
11
5
)



x
2x
3x
例6:b
ca
例7:2a
1
例8:3x
x
a
bc
a2
4a2
(x3)2
3x
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7
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例9:
x
x
6
1
2a
1
-
a
2
例11:a1
a
2
3xx
2
a
2
4
a1
x3x
例10:aa2
例12:x2
x
1
x1
练习题:(1)
b
ab
(2)
1
4
x
1
(3)
12
+
2.
abb2
a2
2xx2
42x
a2
93a
(4)
b2
a
b
()
x
y
a-b
5
2
x
y
y
x
例13:计算a
1
a
的结果是(
)A
1
1
B
1
1
C
a2
a
1
Da1
a
1
a
a
a
1
例14:请先化简:
1
2x
,而后选择一个使原式有意义而又喜爱的数代入求值.
x
2
x2
4
x
1
2x
例15:已知:x2
4x
3
0
求
2
的值。
x
x2
4x
4
9、分式的混杂运算:
例1:
4
2x
例2:
1
x3x2
2x1
x
2
16x4x4
x1
2
2
4x3
x1x
例3:(x2
x2)
x2
2x
例4:2
x
4
x
x
2
x
2
x2
3
x1
例5:
1
1
x
例6:1
x
y
x2
y2
x
x
1
x
2y
x2
4xy
4y2
1
(
1
1
)
2y
x1
x
1
2
2xyy2
例8:
例7xyxy
x
1
x2
xx2
2x
x
例9:
(x2
2
x
2
x1
)
x4
x
2x
4x
4
x
练习题:
10、分式求值问题:
例
1:已知x为整数,且
2
3
+
2
+
2x
18为整数,求所有吻合条件的
x值的和.
x
3x
x2
9
例
2:已知x=2,y=1
,求
24
2
24
2÷
11
的值.
2
(xy)
(xy)
xyxy
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8
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例3:已知数x足4x2-4x+l=O,代数式2x+
1
的________.
2x
例4:已知数a足a2+2a-8=0,求1
1
a3
a2
2a
1的.
a
a21a2
4a
3
例5:若x
1
3
求
x2
的是(
).



x
x4
x2
1
8
10
2
4
例6:已知1
1
3,求代数式2x
14xy
2y的
x
y
x
2xy
y
例7:先化,再a取一个适合的数,代入求
a
1
a
3
a2
6a
9.
a
3
a
2
a2
4
:
(1)
2
x2
4x
,此中x=5.(2)a2
8a16,此中a=5
(3)
2
a2
ab
2
,此中
x
8x
16
a
2
16
a
2ab
b
a=-3,b=2
(4)
2
a2
1
a1
;此中a=85;
(5)(
x
2
x
1
)
x
4,此中x=-1
a
4a4a2
x
2
2xx2
4x4
x
(6)先化,再求:
3
x÷(x+2-
5
).此中x=-2.
2x
4
x
2
(7)(
a
a2
a2
b2
)(a
a2
b2
)1,此中a
2,b
3
a
b
2ab
ab
a2
3
2
(8)先化,11x1,再一个你喜的数代入求.
xx
11、分式其余型:
例1:察下边一列有律的数:
2,3,4
,5
,6
,7,⋯⋯.
依据其律可知第
3
8
15
24
35
48
n个数是___(n正整数)
例2:察下边一列分式:
1,22,
43,
84,
165,...,依据你的,它的第
8是
,
第n是
x
x
x
x
x
。
例3:按示的程序算,若开始入的
n4,最后出的果m是
(
)
输入n
n(n+1)
>50
Yes
计算
n
输出结果m
No
A10B20
C
55
D
50
例4:当x=_______,分式
1
与10
相互反数.
5
x
2
3x
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