2023年烟台职业学院单招数学模拟试题(附答案解析)(1).docx

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一、选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分。在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.〔为虚数单位〕,那么复数
.
,35名运发动的成绩〔单位:分钟〕的茎叶图如图1所示
假设将运发动按成绩由好到差编为1-35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,那么其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是

,那么“〞是“〞的



A.-
,如果输入,那么输出的
.
假设双曲线的一条渐近线经过点〔3,-4〕,那么此双曲线的离心率为
.
,那么的最小值为

,那么是
,且在〔0,1〕,且在〔0,1〕上是减函数
,且在〔0,1〕,且在〔0,1〕上是减函数
,且AB⊥BC,假设点P的坐标为〔2,0〕,那么的最大值为

,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,那么原工件的利用率为〔材料的利用率=新工件的体积/原工件的体积〕
.
.
:本大题共5小题,每题5分,共25分
={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},那么________
,以坐标原点为极点,轴的正半轴建立极坐标系,假设曲线的极坐标方程为,那么曲线的直角坐标方程为______
,且〔为坐标原点〕,那么___________.
,那么实数的取值范围是____________
15.,在函数与的图像的交点中,距离最短的两个交点的距离为,那么=________.
三、解答题:本大题共6小题,共75分。接容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.〔本小题总分值12分〕
某商场举行有奖促销活动,顾客购置一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是:从装有2个红球和1个白球的甲箱与装有2个红球和2个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,假设摸出的2个球都是红球那么中奖,否那么不中奖。
〔Ⅰ〕用球的标号列出所有可能的摸出结果;
〔Ⅱ〕有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由。
17.〔本小题总分值12分〕
设△ABC的内角的对边分别为.
〔Ⅰ〕证明:;
〔Ⅱ〕假设,且为钝角,求.
18.〔本小题总分值12分〕
如图4,直三棱柱的底面是边长为2的正三角形,分别是的中点.
〔Ⅰ〕证明:平面AEF⊥平面;
〔Ⅱ〕假设直线与平面所成的角为45°,求三棱锥的体积.
19.〔本小题总分值13分〕
设数列的前项和为,,且.
〔Ⅰ〕证明:;
〔Ⅱ〕求。
20.〔本小题总分值13分〕
抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点,,与相交于两点,且与同向。
〔Ⅰ〕求的方程;
〔Ⅱ〕假设,求直线的斜率。
21.〔本小题总分值13分〕
,函数。记为的从小到大的第个极值点。
〔Ⅰ〕证明:数列是等比数列;
〔Ⅱ〕假设对一切恒成立,求的取值范围。
参考答案
一、选择题:


二、填空题:
11.{1,2,3}
14.〔0,2〕15.
三、解答题:
:
〔Ⅰ〕所有可能的摸出结果是
〔Ⅱ〕不正确。理由如下:
由〔Ⅰ〕知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为
共4种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为,故这种说法不正确。
:
〔Ⅰ〕由及正弦定理,得,所以
〔Ⅱ〕因为
所以
由〔Ⅰ〕,因此。又为钝角,所以,故。
由知。从而
综上所述,
:
〔Ⅰ〕如图,因为三棱柱是直三棱柱,所以,
又是正三角形的边的中点,所以
因此平面
而平面,所以,平面平面
〔Ⅱ〕设的中点为,连结
因为是正三角形,所以
又三棱柱是直三棱柱,所以
因此平面,于是为直线与平面所成的角
由题设,,所以
在中,,所以
故三棱锥的体积
:
〔Ⅰ〕有条件,对任意,有
,
因而对任意,,有
两式相减,得,即
又,所以
故对一切,
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知,,所以,于是数列是首项,公比为3的等比数列;
数列是首项,公比为3的等比数列,因此
于是
从而
综上所述,
:
〔Ⅰ〕由知其焦点的坐标为,因为也是椭圆的一个焦点,所以
①
又与的公共弦的长为,与都关于轴对称,且的方程为,由此易知与的公共点的坐标为,所以
②
联立①②得,故的方程为
〔Ⅱ〕如图,设
因与同向,且,所以,从而,即,于是
③
设直线的斜率为,那么的方程为
由得,而是这个方程的两根,所以
④
由得,而是这个方程的两根,所以
⑤
将④⑤代入③,得,即
,
所以,解得,即直线的斜率为
:
〔Ⅰ〕
其中
令,由得,即
对,假设,即,那么;
假设,即,那么
因此,在区间与上,的符号总相反,于是
当时,取得极值,所以
此时,,易知,而
是常数,故数列是首项为,公比为的等比数列。
〔Ⅱ〕对一切恒成立,即恒成立,亦即
恒成立〔因为〕
设,那么,令得
当时,,所以在区间〔0,1〕上单调递减;
当时,,所以在区间上单调递增。
因为,且当时,,所以
因此,恒成立,当且仅当
解得。故的取值范围是。